1/(2x-1)の積分は、分数関数の積分の中でも頻出のテーマのひとつです。
前の1/(2x+1)と形が似ていますが、定数部分の符号の違いによる影響を正しく理解しておくことが大切です。
この記事では、1/(2x-1)の積分の公式からやり方、置換積分を使った具体的な解き方、不定積分・定積分の例題まで丁寧に解説していきます。
積分が苦手な方でもわかりやすいようステップごとに説明していますので、ぜひ最後まで読んでみてください。
1/(2x-1)の積分の公式と結論
それではまず、1/(2x-1)の積分の公式と結論を確認していきます。
1/(2x-1)の不定積分の公式は次のとおりです。
∫1/(2x-1) dx = (1/2)log|2x-1| + C
（Cは積分定数）
この結果は、1/(ax+b)の積分の一般公式∫1/(ax+b) dx = (1/a)log|ax+b| + C にa = 2、b = -1を代入したものです。
係数aの逆数(1/2)が前に付く点は1/(2x+1)のときと同じであり、定数部分の符号が変わっても係数の処理は変わりません。
1/(2x-1)の積分は(1/2)log|2x-1| + C。1/(2x+1)の積分と係数は同じで、絶対値の中身だけが異なります。一般公式∫1/(ax+b) dx = (1/a)log|ax+b| + Cとして整理しておきましょう。
公式の成り立ちと考え方
1/(2x-1)の積分は、分母が一次式の形をした分数関数の積分です。
分母をそのまま積分しようとしても対応できないため、置換積分や一般公式の直接適用が必要になります。
∫1/(ax+b) dx = (1/a)log|ax+b| + C という一般公式を覚えておくと、素早く答えが出せます。
この公式は置換積分から導かれるものであり、次節でその手順を詳しく確認していきましょう。
1/(2x+1)との違いの整理
1/(2x+1)と1/(2x-1)の積分を並べて比較しておきましょう。
| 積分の形 | 積分結果 |
|---|---|
| ∫1/(2x+1) dx | (1/2)log|2x+1| + C |
| ∫1/(2x-1) dx | (1/2)log|2x-1| + C |
係数(1/2)は共通で、絶対値の中身の定数部分だけが異なることがわかります。
このパターンを整理しておくと、類似問題でも混乱しにくくなるでしょう。
絶対値の意味と注意点
答えにlog|2x-1|と絶対値が付く理由は、2x-1が負の値を取る場合があるためです。
logは正の数にしか定義されていないため、log|2x-1|と絶対値を付けて表現するのが正確です。
2x-1 > 0のとき、すなわちx > 1/2のときは絶対値なしでlog(2x-1)と書いても問題ありません。
しかし一般的な不定積分の答えとしては、絶対値を付けた形で記載するのが安全でしょう。
置換積分を使った1/(2x-1)の解き方
続いては、置換積分を使った1/(2x-1)の具体的な解き方を確認していきます。
置換積分の手順をしっかり押さえることで、類似問題にも応用できるようになります。
置換積分の手順
t = 2x-1 と置くと、dt/dx = 2 つまり dx = dt/2 が得られます。
t = 2x-1 と置くと dx = dt/2
∫1/(2x-1) dx = ∫(1/t)・(dt/2)
= (1/2)∫(1/t) dt
= (1/2)log|t| + C
tを戻して → (1/2)log|2x-1| + C
このように置換積分を使うと、(1/2)log|2x-1| + Cという答えが得られます。
dxをdt/2に変換する部分が置換積分の核心となる手順です。
置換積分の各ステップの意味
t = 2x-1 という置換は、分母の一次式をシンプルな変数tに置き換えるためのものです。
dx = dt/2 という変換は、積分変数の変換を正確に行うための必須ステップです。
∫(1/t) dt = log|t| + C という1/tの積分公式を適用した後、tをxの式に戻して完成です。
この3ステップを意識するだけで、類似する分数積分の問題もスムーズに解けるようになるでしょう。
置換積分でよくあるミスと注意点
置換積分で最も多いミスは、dxをdt/2に変換し忘れることです。
変換を忘れると(1/2)の係数が付かず、答えがlog|2x-1| + Cとなってしまいます。
dx部分の変換は必ず行うという意識を持つことが、ミスを防ぐ最大のポイントです。
また最後にtをxの式に戻し忘れるケースも頻出するため、手順の最後に必ず確認しましょう。
1/(2x-1)の積分の応用と例題
続いては、1/(2x-1)の積分の応用と具体的な例題を確認していきます。
定積分への応用や類似問題との比較を通じて、理解をさらに深めていきましょう。
定積分の例題
【例題】∫₁²1/(2x-1) dx を求めよ。
[(1/2)log|2x-1|]₁²
= (1/2)log|2・2-1| – (1/2)log|2・1-1|
= (1/2)log3 – (1/2)log1
= (1/2)log3 – 0
= (1/2)log3
log1 = 0 であることに注意すれば、計算はスムーズに進みます。
答えは(1/2)log3となります。
定積分の範囲設定の注意点
1/(2x-1)はx = 1/2で定義されないため、積分範囲にx = 1/2を含む場合は注意が必要です。
たとえば∫₀¹1/(2x-1) dx はx = 1/2を含むため、通常の定積分としては計算できません。
広義積分として扱う場合は別途検討が必要になりますが、基本的にはx = 1/2を避けた範囲で積分します。
問題文の積分範囲を必ず確認してから計算に取り掛かることが大切です。
検算と確認の方法
積分した結果が正しいかどうかは、微分して元の式に戻るかで確認できます。
【検算】d/dx[(1/2)log|2x-1| + C]
= (1/2)・1/(2x-1)・2
= 1/(2x-1) ✓
合成関数の微分によって元の1/(2x-1)に戻ることが確認できます。
計算ミスが不安なときはこの方法で必ず確かめる習慣をつけておくと安心でしょう。
まとめ
1/(2x-1)の積分は(1/2)log|2x-1| + C であり、分母の係数2の逆数(1/2)を前に付けることが最大のポイントです。
置換積分ではt = 2x-1と置いてdx = dt/2に変換し、∫(1/t) dt = log|t|の公式を適用してtをxに戻す手順で求められます。
1/(2x+1)の積分と係数は同じで絶対値の中身だけが異なる点を整理しておきましょう。
定積分ではx = 1/2を含まない積分範囲を設定し、log|2x-1|の絶対値と積分定数Cを忘れずに記載してみてください。
