1/(2x)の積分は、分数関数の積分の中でも基礎的なテーマのひとつです。
1/xの積分がlog|x|になることを知っていれば、定数倍の扱い方をしっかり押さえるだけでスムーズに解けます。
この記事では、1/(2x)の積分の公式から置換積分を使った解き方、不定積分・定積分の例題まで丁寧に解説していきます。
積分が苦手な方でもわかりやすいようステップごとに説明していますので、ぜひ最後まで読んでみてください。
1/(2x)の積分の公式と結論
それではまず、1/(2x)の積分の公式と結論を確認していきます。
1/(2x)の不定積分の公式は次のとおりです。
∫1/(2x) dx = (1/2)log|x| + C
（Cは積分定数）
1/(2x) = (1/2)・(1/x) と変形すれば、定数(1/2)を積分の外に出すことができます。
あとは∫(1/x) dx = log|x| + C を使うだけなので、答えは(1/2)log|x| + Cとなります。
1/(2x)の積分は(1/2)log|x| + C。定数倍を外に出してから1/xの積分公式を使うのが基本の手順です。
定数倍の扱い方
積分には定数倍を積分の外に出せるという性質があります。
∫k・f(x) dx = k・∫f(x) dx（kは定数）という公式がその根拠です。
1/(2x) = (1/2)・(1/x) と捉えることで、(1/2)を外に出してから1/xの積分を行うだけになります。
この変形は非常にシンプルですが、分数の形を見たとき瞬時に気づけるようにしておくことが大切です。
1/xの積分との関係
1/(2x)の積分を理解するためには、∫(1/x) dx = log|x| + C という公式が土台になります。
xが正のときはlog xですが、xが負の場合も含めてlog|x|と書くのが正確な表現です。
絶対値を忘れると定義域外の扱いが不正確になるため、答えには必ずlog|x|の形で記載しましょう。
1/(2x)の積分はこの公式の定数倍バージョンと理解しておくのが最もシンプルでしょう。
積分定数の扱いと注意点
不定積分の最終的な答えには積分定数Cが必要です。
(1/2)を外に出した後に∫(1/x) dx を計算するため、積分定数はひとつのCとしてまとめて書きます。
Cの書き忘れは減点対象になるため、答えを書く際は必ず確認する習慣をつけましょう。
また(1/2)C = C’ とまとめてCと書いてよい点も、積分定数の性質として覚えておくとよいでしょう。
置換積分を使った1/(2x)の解き方
続いては、置換積分を使った1/(2x)の解き方を確認していきます。
定数倍の処理だけで解ける問題ではありますが、置換積分の練習としても非常に適しています。
置換積分の手順
t = 2x と置くと、dt/dx = 2 つまり dx = dt/2 が得られます。
t = 2x と置くと dx = dt/2
∫1/(2x) dx = ∫(1/t)・(dt/2)
= (1/2)∫(1/t) dt
= (1/2)log|t| + C
tを戻して → (1/2)log|2x| + C
ここで(1/2)log|2x| = (1/2)(log2 + log|x|) = (1/2)log|x| + (1/2)log2 となります。
(1/2)log2 は定数なので積分定数Cに吸収され、最終的に(1/2)log|x| + Cと一致します。
置換積分と定数倍処理の結果の一致
定数倍を外に出す方法でも、置換積分を使う方法でも、最終的な答えは同じになります。
途中で(1/2)log|2x|という形が出てきても、定数部分はCに吸収できるため問題ありません。
2つの方法で同じ答えになることを確認しておくと、積分の理解がより深まるでしょう。
どちらの方法を使っても正解ですが、定数倍処理のほうが手軽でスピーディです。
置換積分でよくあるミスと注意点
置換積分でよく見られるミスは、dxをdt/2に変換し忘れることです。
また、最後にtをxの式に戻し忘れるケースも頻出します。
置換・変換・戻すという3ステップを意識して、手順を一つひとつ丁寧に追う習慣をつけましょう。
慣れるまでは途中式をすべて書き出してから計算を進めることをおすすめします。
1/(2x)の積分の応用と例題
続いては、1/(2x)の積分の応用と具体的な例題を確認していきます。
定積分への応用や類似問題との比較を通じて、理解をさらに深めていきましょう。
定積分の例題
【例題】∫₁²1/(2x) dx を求めよ。
[(1/2)log|x|]₁²
= (1/2)log2 – (1/2)log1
= (1/2)log2 – 0
= (1/2)log2
log1 = 0 であることに注意すれば、計算はスムーズに進みます。
答えは(1/2)log2となります。
類似する積分公式との比較
1/(2x)と形が似た分数関数の積分公式をまとめて確認しておきましょう。
| 積分の形 | 積分結果 |
|---|---|
| ∫1/x dx | log|x| + C |
| ∫1/(2x) dx | (1/2)log|x| + C |
| ∫1/(3x) dx | (1/3)log|x| + C |
| ∫1/(ax) dx | (1/a)log|x| + C |
分母の定数aが大きくなるほど、係数(1/a)が小さくなるパターンが見て取れます。
∫1/(ax) dx = (1/a)log|x| + Cという一般公式として覚えておくと便利でしょう。
検算と確認の方法
積分した結果が正しいかどうかは、微分して元の式に戻るかで確認できます。
【検算】d/dx[(1/2)log|x| + C] = (1/2)・(1/x) = 1/(2x) ✓
このように微分して元に戻ることを確認するのが積分の検算の基本です。
計算ミスが不安なときはこの方法で必ず確かめる習慣をつけておくと安心でしょう。
まとめ
1/(2x)の積分は(1/2)log|x| + C であり、定数倍を積分の外に出してから1/xの公式を使うのが基本の手順です。
置換積分ではt = 2xと置くことで同じ結果が得られ、途中で現れる定数はCに吸収できます。
一般化すると∫1/(ax) dx = (1/a)log|x| + C という公式になるため、まとめて覚えておくと便利です。
log|x|の絶対値と積分定数Cを忘れずに記載し、定積分では上限・下限を正確に代入して計算してみてください。
