三角関数の積分の中でも、1/sin²xの積分は公式を知っているだけで素早く解くことができる重要な形です。
この積分は置換積分を使った方法でも証明でき、受験数学でも頻出の形として知られています。
この記事では、1/sin²xの積分公式とその導き方、置換積分を用いた解法、さらに例題を通じた解き方まで丁寧に解説していきます。
1/sin²xの積分の公式は－cotx＋C
それではまず、1/sin²xの積分の公式について解説していきます。
∫(1/sin²x)dx＝－cotx＋C（Cは積分定数）
1/sin²xはcsc²xとも表記されるため、∫csc²x dx＝－cotx＋Cという形で参考書に載っていることもあります。
公式の形はシンプルですが、cotxとは何かをしっかり理解した上で使うことが大切です。
cotxはcosxをsinxで割った関数、すなわちcotx＝cosx/sinxと定義されています。
公式の証明：cotxの微分から逆算する
1/sin²xの積分公式は、cotxの微分を逆向きに使うことで証明できます。
cotx＝cosx/sinxの微分を商の微分公式で求めます。
d/dx(cotx)＝(－sinx・sinx－cosx・cosx)/sin²x
＝(－sin²x－cos²x)/sin²x＝－(sin²x＋cos²x)/sin²x＝－1/sin²x
よって d/dx(－cotx)＝1/sin²x となり、∫(1/sin²x)dx＝－cotx＋C が得られます。
ここではsin²x＋cos²x＝1という三角関数の基本公式を使っています。
この証明の流れを理解すると、公式の形が自然に納得できるでしょう。
置換積分を用いた導き方
1/sin²xの積分は、置換積分を使っても導くことができます。
t＝cotxとおくと、dt＝－1/sin²x dx より 1/sin²x dx＝－dt
∫(1/sin²x)dx＝∫(－dt)＝－t＋C＝－cotx＋C
この置換積分の方法は、微分との逆対応を直接利用しているため、非常にわかりやすい導き方といえます。
cotxの微分が－1/sin²xになることを知っていれば、置換がスムーズに行えるでしょう。
1/sin²xと1/cos²xの対比で覚える
1/sin²xと1/cos²xの積分公式は、セットで覚えると記憶に定着しやすいです。
| 被積分関数 | 積分結果 | 別表記 |
|---|---|---|
| 1/sin²x | －cotx＋C | ∫csc²x dx＝－cotx＋C |
| 1/cos²x | tanx＋C | ∫sec²x dx＝tanx＋C |
sinとcot、cosとtanという組み合わせを意識すると、2つの公式を混同せずに覚えられます。
どちらも受験数学で頻出であるため、しっかりと区別して身につけておきましょう。
1/sin²xの積分のやり方を整理しよう
続いては、1/sin²xの積分のやり方について整理していきます。
基本的な手順を押さえることで、どんな形の問題にも対応できるようになります。
基本的な解き方の手順
1/sin²xの積分を解く際の基本的な手順を確認しましょう。
① 被積分関数が1/sin²xの形になっているか確認する。
② 公式 ∫(1/sin²x)dx＝－cotx＋C をそのまま適用する。
③ 積分定数Cを忘れずに付ける。
公式を正確に覚えていれば、3ステップで解答することができます。
答えの符号がマイナスになることを忘れやすいため、特に注意が必要です。
引数に定数がある場合のやり方
1/sin²(2x)のように引数に定数がある場合は、置換積分を使います。
∫(1/sin²(2x))dx を求めよ。
t＝2xとおくと dt＝2dx より dx＝dt/2
∫(1/sin²(2x))dx＝(1/2)∫(1/sin²t)dt＝(1/2)・(－cott)＋C＝－cot(2x)/2＋C
引数が変わった場合は置換積分で引数を単純化するのがポイントです。
最後にtをもとの変数に戻すことを忘れないようにしましょう。
係数を含む場合のやり方
3/sin²xのように係数がある場合は、定数を積分の外に出して計算します。
∫(3/sin²x)dx を求めよ。
∫(3/sin²x)dx＝3∫(1/sin²x)dx＝3・(－cotx)＋C＝－3cotx＋C
定数倍は積分の外に出せるという積分の線形性を利用した解き方です。
係数をそのまま外に出して計算を進めると、シンプルに解くことができます。
1/sin²xの積分の例題で理解を深めよう
続いては、実際の例題を通じて1/sin²xの積分の解き方を確認していきます。
例題①：基本的な不定積分
問題：∫(1/sin²x)dx を求めよ。
解答：公式を直接適用して、
∫(1/sin²x)dx＝－cotx＋C
この問題は公式をそのまま当てはめるだけで解くことができます。
答えの符号がマイナスになることと、積分定数Cを付けることを忘れないようにしましょう。
例題②：1/sin²xと他の関数の和の積分
問題：∫(1/sin²x＋cosx)dx を求めよ。
積分の線形性より、
∫(1/sin²x＋cosx)dx＝∫(1/sin²x)dx＋∫cosxdx
＝－cotx＋sinx＋C
和の積分はそれぞれを別々に積分して合計することができます。
各項の公式を正確に覚えておくことで、こうした問題もスムーズに解けるでしょう。
例題③：定積分への応用
問題：∫[π/6→π/2](1/sin²x)dx を求めよ。
∫(1/sin²x)dx＝－cotxより、
[－cotx]のx＝π/6からx＝π/2までを計算します。
－cot(π/2)－(－cot(π/6))＝0＋√3＝√3
定積分では不定積分の結果に上端と下端の値を代入して差を求めます。
cot(π/2)＝0、cot(π/6)＝√3であることを覚えておくと、計算がスムーズです。
まとめ
この記事では、1/sin²xの積分公式と証明、置換積分を使った解き方、例題について解説しました。
公式は∫(1/sin²x)dx＝－cotx＋Cであり、cotxの微分を逆用することで証明できます。
1/cos²xの積分公式（tanx＋C）と対比させて覚えると、混同を防ぐことができるでしょう。
係数や引数に変化がある場合でも、基本公式と置換積分を組み合わせれば対応できます。
公式の意味をしっかりと理解した上で、さまざまな問題に取り組んでみてください。
