1/(x+1)の積分は、分数関数の積分の中でも最も基礎的なテーマのひとつです。
1/xの積分がlog|x|になることを踏まえると、x+1をひとつの塊として捉えることがポイントになります。
この記事では、1/(x+1)の積分の公式からやり方、部分分数分解との関係、不定積分・定積分の例題まで丁寧に解説していきます。
積分が苦手な方でもわかりやすいようステップごとに説明していますので、ぜひ最後まで読んでみてください。
1/(x+1)の積分の公式と結論
それではまず、1/(x+1)の積分の公式と結論を確認していきます。
1/(x+1)の不定積分の公式は次のとおりです。
∫1/(x+1) dx = log|x+1| + C
（Cは積分定数）
これは1/(ax+b)の一般公式∫1/(ax+b) dx = (1/a)log|ax+b| + C にa = 1、b = 1を代入したものです。
a = 1のときは係数(1/a) = 1となるため、係数なしでそのままlog|x+1| + Cとなります。
1/(x+1)の積分はlog|x+1| + C。a = 1のケースでは係数が付かないため、シンプルにlogの中身がx+1の絶対値になります。
公式の成り立ちと考え方
1/(x+1)の積分は、1/xの積分∫(1/x) dx = log|x| + C においてxをx+1に置き換えた形です。
x+1をひとつの変数として捉えると、∫1/(x+1) dx = log|x+1| + Cという公式が自然に導けます。
a = 1の場合は係数の逆数も1になるため、前に係数が付かないという点がシンプルで覚えやすいでしょう。
まずこの基本パターンをしっかり押さえた上で、係数が付くケースへと発展させていくのが理想的です。
絶対値の意味と注意点
答えにlog|x+1|と絶対値が付く理由は、x+1が負の値を取る場合があるためです。
logは正の数にしか定義されていないため、log|x+1|と絶対値を付けて表現するのが正確です。
x+1 > 0のとき、すなわちx > -1のときは絶対値なしでlog(x+1)と書いても問題ありません。
しかし一般的な不定積分の答えとしては、絶対値を付けた形で記載するのが安全でしょう。
積分定数の扱いと注意点
不定積分の最終的な答えには積分定数Cが必要です。
1/(x+1)の積分はシンプルな一ステップで求められますが、Cの書き忘れは減点対象になります。
答えを書く際は必ず積分定数Cを付け忘れないよう確認する習慣をつけましょう。
特にシンプルな問題ほど見落としやすいため、注意が必要です。
部分分数分解との関係
続いては、1/(x+1)の積分と部分分数分解との関係を確認していきます。
部分分数分解は、より複雑な分数関数の積分を解く際に非常に重要なテクニックです。
部分分数分解の基本的な考え方
部分分数分解とは、複雑な分数式をより単純な分数の和に分解するテクニックです。
たとえば1/((x+1)(x+2))のような形は、A/(x+1) + B/(x+2)という形に分解して積分します。
1/(x+1)はすでに最もシンプルな形であるため、部分分数分解の結果として現れることが多い関数です。
部分分数分解の最終結果に1/(x+1)が含まれたとき、その積分はlog|x+1| + Cとなります。
部分分数分解を使った例題
【例題】∫1/((x+1)(x+2)) dx を求めよ。
1/((x+1)(x+2)) = A/(x+1) + B/(x+2) と置く。
両辺に(x+1)(x+2)を掛けると、
1 = A(x+2) + B(x+1)
x = -1を代入 → A = 1
x = -2を代入 → B = -1
よって∫
dx
= log|x+1| – log|x+2| + C
このように、部分分数分解の結果として1/(x+1)の積分が自然に登場することがわかります。
部分分数分解と1/(x+1)の積分公式をセットで覚えておくと、多くの問題に対応できます。
置換積分による導出との関係
t = x+1 と置くと、dt/dx = 1 つまり dx = dt が得られます。
t = x+1 と置くと dx = dt
∫1/(x+1) dx = ∫(1/t) dt
= log|t| + C
tを戻して → log|x+1| + C
a = 1のときはdx = dtとなり、係数の変換が発生しないためシンプルに求められます。
この導出を一度確認しておくと、公式の意味がより深く理解できるでしょう。
1/(x+1)の積分の応用と例題
続いては、1/(x+1)の積分の応用と具体的な例題を確認していきます。
定積分への応用や類似問題との比較を通じて、理解をさらに深めていきましょう。
定積分の例題
【例題】∫₀¹1/(x+1) dx を求めよ。
[log|x+1|]₀¹
= log|1+1| – log|0+1|
= log2 – log1
= log2 – 0
= log2
log1 = 0 であることに注意すれば、計算はスムーズに進みます。
答えはlog2となります。
類似する積分公式との比較
1/(x+1)と形が似た分数関数の積分公式をまとめて確認しておきましょう。
| 積分の形 | 積分結果 |
|---|---|
| ∫1/x dx | log|x| + C |
| ∫1/(x+1) dx | log|x+1| + C |
| ∫1/(x+2) dx | log|x+2| + C |
| ∫1/(x+a) dx | log|x+a| + C |
分母の定数部分が変わっても、係数が1の場合はlogの中身がそのまま変わるだけというパターンが見て取れます。
このシンプルな構造を押さえておくと、類似問題でもスムーズに対応できるでしょう。
検算と確認の方法
積分した結果が正しいかどうかは、微分して元の式に戻るかで確認できます。
【検算】d/dx[log|x+1| + C]
= 1/(x+1)・1
= 1/(x+1) ✓
合成関数の微分によって元の1/(x+1)に戻ることが確認できます。
計算ミスが不安なときはこの方法で必ず確かめる習慣をつけておくと安心でしょう。
まとめ
1/(x+1)の積分はlog|x+1| + C であり、1/(ax+b)の一般公式においてa = 1としたシンプルなケースです。
部分分数分解の最終結果として1/(x+1)が現れることが多く、log|x+1| + Cという積分公式をセットで覚えておくことが大切です。
置換積分ではt = x+1と置くだけで係数の変換なしにシンプルに導けます。
log|x+1|の絶対値と積分定数Cを忘れずに記載し、定積分や部分分数分解との組み合わせ問題にも積極的に挑戦してみてください。
