「120度の角度を正確に書きたいけれど、分度器がない」「コンパスと定規だけで120度を作図する方法を知りたい」という疑問を持つ方は少なくないでしょう。
120度の角度は、正三角形の内角（60度）の2倍であり、正六角形の内角でもある幾何学的にとても重要な角度です。
分度器を使えば簡単に測ることができますが、数学的な作図においては「コンパスと定規のみを使う」という作図の原則があります。
また120度は60度の倍という関係から、正三角形の作図を応用することで簡単に描くことができるという美しい性質を持ちます。
この記事では、分度器を使った基本的な120度の作図から、コンパスと定規だけを使った幾何学的な作図方法、正三角形・正六角形との関係、角度の計算での120度の扱い方まで、わかりやすく丁寧に解説していきます。
小学校・中学校の数学の学習に役立てたい方も、図学・幾何学に興味のある方も、ぜひ最後まで読んでみてください。
120度とはどんな角度？基本的な性質と関連する図形を理解する
それではまず、120度という角度の基本的な性質と、どのような図形に関連しているかについて解説していきます。
120度は60度の2倍であり、60度は正三角形の一つの内角に相当します。
このシンプルな関係が、120度の作図を比較的容易にする理由のひとつです。
120度が登場する主な図形と角度の関係
120度はさまざまな幾何学的な場面で登場します。
| 図形・場面 | 120度の登場の仕方 |
|---|---|
| 正三角形 | 外角が120度（内角60度の補角） |
| 正六角形 | 各内角が120度 |
| 直線上の補角 | 60度の角の残りの角（180−60＝120度） |
| 三角形の外角 | 内角の和の性質から計算される角度 |
| 蜂の巣（ハニカム構造） | 六角形の格子構造の各角度が120度 |
特に重要なのは正六角形の内角が120度という関係です。
正六角形は六つの正三角形を組み合わせてできる図形であり、各頂点に集まる内角の合計は(6−2)×180÷6＝120度となります。
120度と60度・180度・360度の関係
120度をより深く理解するために、関連する角度との関係を整理しておきましょう。
120度と関連する角度の関係
120度 ＝ 60度 × 2（正三角形の内角の2倍）
120度 ＝ 180度 − 60度（直線の角の補角）
120度 ＝ 360度 ÷ 3（円を3等分した角度）
120度 × 3 ＝ 360度（正三角形の外角の合計）
180度 − 120度 ＝ 60度（120度の補角は60度）
「360度の3分の1＝120度」という関係から、円を3等分する際の各中心角が120度になることも覚えておくと便利です。
この性質は正三角形の作図や、120度間隔で並ぶ対称図形の設計に活用されます。
度数法とラジアンでの120度の表現
高校数学以上では、角度をラジアン（弧度法）で表すことが求められます。
120度のラジアン変換
180度 ＝ π ラジアン なので
120度 ＝ 120 × π/180 ＝ 2π/3 ラジアン（≒ 2.094 rad）
2π/3という値は三角関数の計算でよく登場します。
sin120° ＝ √3/2、cos120° ＝ −1/2、tan120° ＝ −√3という値は高校数学の三角比・三角関数の頻出事項です。
分度器を使った120度の作図方法：基本的な手順
続いては、分度器を使った基本的な120度の作図方法について確認していきます。
分度器を使う方法は最もシンプルですが、正確に使わないと誤差が生じやすいため、正しい使い方の確認が重要です。
分度器を使った120度作図の手順
分度器を使った120度の作図手順
① 直線（基準の辺）を引き、角の頂点となる点Oを決める
② 分度器の中心を点Oに合わせ、基線を直線に合わせる
③ 分度器の120度の目盛りに印をつける（点A）
④ 点Oと点Aを直線で結ぶ
⑤ できた∠（基準線、OA間）＝120度の角度が完成
分度器を使う際の注意点として、分度器の中心点と頂点を正確に一致させることが最重要です。
中心がずれると角度の読み取りに誤差が生じるため、目盛りを読む前に必ず中心のアライメントを確認しましょう。
また内側の目盛りと外側の目盛りの見間違えにも注意が必要です。
分度器の内外の目盛りの読み方
多くの分度器には内側と外側の二つの数字の列が印刷されています。
基準の辺が左から右に伸びている場合は外側（0→180の方向）の目盛りを読み、右から左に伸びている場合は内側の目盛りを読みます。
120度を正確に読み取るためには、目盛りの読み方の方向を間違えずに60度（補角）と混同しないことが重要なポイントです。
分度器での120度作図の精度を高める工夫
分度器作図の精度を高めるために実践したい工夫がいくつかあります。
鉛筆の芯は細く尖らせておくこと、目盛りを読む際は真正面から見ること（視差を避けること）、印をつける点は小さく正確に打つことが基本的なコツです。
また120度という大きな角度は、分度器の右端付近の目盛りを使うことになるため、分度器の端の目盛りが見にくい場合は60度を先に測ってから補角として残りを取る方法も有効です。
コンパスと定規だけで120度を作図する方法
続いては、分度器を使わずにコンパスと定規だけで120度を正確に作図する幾何学的な方法について確認していきます。
この方法は正三角形の作図を応用した最もエレガントな方法であり、数学的な作図の原則（コンパスと定規のみ）に従った正確な手順です。
方法①：60度を作図してから直線上の補角として120度を得る
最もシンプルな方法は、まず60度の角を作図し、その直線上の補角（180−60＝120度）として120度を得る方法です。
コンパスと定規による120度の作図手順（方法①）
① 直線を引き、直線上の点Oを頂点として決める
② Oを中心にコンパスで弧を描き、直線との交点をA・Bとする
③ Aを中心に同じ半径の弧を描く
④ Bを中心に同じ半径の弧を描き、③の弧との交点をCとする
（O・A・Cを結ぶと正三角形となり、∠AOC＝60度）
⑤ 直線上でAの反対側（Bより左）の部分が120度の角となる
→ ∠BOC ＝ 180° − 60° ＝ 120°
この方法は正三角形の作図（一辺が等しい三角形の作図）の応用であり、等しい半径で三点を結ぶと60度の角が自動的に生成されるという原理を利用しています。
方法②：正六角形の一部を利用する方法
正六角形の内角が120度であることを利用した方法もあります。
正六角形を利用した120度の作図手順（方法②）
① 円を描き、中心をO、円上の一点をAとする
② Aを中心に同じ半径の弧を描き、円との交点をBとする
③ Bを中心に同じ半径の弧を描き、円との交点をCとする
（これにより弧AC＝弧BC ＝ 円の1/6となる）
④ ∠AOC ＝ 360°÷3 ＝ 120°（正六角形の中心角の2個分）
→ OA と OC の間の角が120度
この方法では円を6等分するステップが自然に120度を生成するという性質を活用しています。
正六角形の頂点間隔はすべて半径と等しいという特性がコンパス作図を可能にしています。
120度の角を2等分する作図（二等分線）
作図した120度の角を二等分すると60度になります。
角の二等分線の作図はコンパスで両辺上に等距離の点を取り、それぞれを中心に等半径の弧を描いて交点を結ぶ方法で行います。
120度の二等分線を引くことで正確な60度が得られ、二等分を繰り返すことで30度・15度なども作図可能です。
120度の角度に関する計算：三角形・多角形での活用
続いては、120度を使った角度の計算問題と、三角形・多角形での活用場面について確認していきます。
120度は幾何学の計算問題でも頻繁に登場し、三角形の外角・多角形の内角の計算・対称性の評価などに使われます。
三角形で120度が登場する計算パターン
三角形の内角の和は180度ですが、一つの角が120度の場合は残り二つの角の和が60度になります。
120度を含む三角形の角度計算例
例1：三角形ABCで∠A＝120度、∠B＝35度のとき∠Cは？
∠C ＝ 180 − 120 − 35 ＝ 25度
例2：三角形ABCで∠A＝120度、∠B＝∠Cのとき各角は？
∠B＋∠C ＝ 180 − 120 ＝ 60度、∠B＝∠C＝30度
（二等辺三角形の特殊ケース）
内角が120度の二等辺三角形は、底角がそれぞれ30度という特徴的な形状を持ち、正三角形の半分の形と組み合わせで現れることがあります。
多角形の内角と120度の関係
n角形の内角の和は(n−2)×180度という公式で求められます。
正多角形で一つの内角が120度になるのは正六角形（n＝6）のときです。
正多角形の内角の計算で120度が登場する例
正六角形の一つの内角：(6−2)×180 ÷ 6 ＝ 720 ÷ 6 ＝ 120度
逆に、一つの内角が120度の正多角形の辺数：
(n−2) × 180 ÷ n ＝ 120
→ (n−2) × 180 ＝ 120n
→ 180n − 360 ＝ 120n
→ 60n ＝ 360
→ n ＝ 6（六角形）
この計算から内角が120度の正多角形は正六角形だけであることが証明されます。
cos120度・sin120度の値と応用
三角比の計算では120度は頻出の角度です。
単位円上での120度の位置は第二象限にあり、基準角60度の三角比の値から計算できます。
120度の三角比の値まとめ
sin120° ＝ sin(180°−60°) ＝ sin60° ＝ √3/2 ≒ 0.866
cos120° ＝ cos(180°−60°) ＝ −cos60° ＝ −1/2 ＝ −0.5
tan120° ＝ sin120°/cos120° ＝ (√3/2)/(−1/2) ＝ −√3 ≒ −1.732
覚え方：120°は第二象限なのでcos・tanが負になる
これらの値は余弦定理・正弦定理の計算、ベクトルの内積計算など高校数学の多くの場面で活用されます。
まとめ
この記事では、120度という角度の基本的な性質から、分度器を使った作図方法、コンパスと定規のみを使った幾何学的作図、三角形・多角形での計算応用、三角比の値まで幅広く解説してきました。
120度の本質は「60度の2倍であり、正三角形の外角・正六角形の内角・円の三等分の角度」という多くの幾何学的関係に支えられた重要な角度です。
コンパスと定規のみの作図では「60度を作図して直線上の補角として120度を得る」方法が最もシンプルで正確な方法といえます。
三角比ではsin120°＝√3/2・cos120°＝−1/2・tan120°＝−√3という値が高校数学でよく使われるため、基準角60度との関係とともに覚えておきましょう。
ぜひこの記事を活用して、120度の理解を深め、数学・幾何学の学習に役立ててください。
