1/xのグラフの書き方は？特徴や漸近線も解説！（反比例：増減表：定義域など）

1/xのグラフは、反比例を学ぶときに必ず登場する代表的な関数です。式自体は短いものの、グラフが原点を通らないことや、座標軸へ限りなく近づく性質など、一次関数とは異なるポイントがいくつもあります。

グラフの形だけを暗記すると、定義域、値域、増減、漸近線を問われた場面で迷いやすくなります。式と表、座標、グラフのつながりを順に確認すれば、手書きでも正確に描けるようになるでしょう。

この記事では、y＝1/xの基本的な特徴から増減表の作り方、漸近線の考え方、応用問題で役立つ確認方法までをわかりやすく解説します。

1/xのグラフの基本的な形

それではまず、1/xのグラフがどのような形になるのかについて解説していきます。

反比例としての式の意味

y＝1/xは、xとyの積が常に1になる関係を表す式です。xに数を入れると、その逆数がyの値として決まります。

xが大きくなるほどyは小さくなり、xが小さな正の数になるほどyは大きくなります。xとyが互いに逆数になると理解すると、点の座標を求める作業がかなり楽になります。

また、xが負のときはyも負になります。正の数を負の数で割ると負になるためで、グラフが第1象限と第3象限に現れる理由にもつながります。

第1象限と第3象限に分かれる理由

y＝1/xでは、xが正ならyも正です。そのため、x＞0の部分は第1象限に曲線として描かれます。

一方で、x＜0ならy＜0となるため、もう一方の曲線は第3象限に現れます。第2象限や第4象限には点が存在しないことが、この関数の大きな特徴です。

たとえばx＝－1ならy＝－1、x＝－2ならy＝－1/2です。負の値でも絶対値が大きくなるほどyは0に近づき、原点から離れた場所では曲線が横軸へ近づいて見えます。

第1象限と第3象限に同じような枝ができることを、最初に押さえておきましょう。原点を中心として180度回転させると重なる形であり、これを原点対称といいます。

代表的な座標の一覧

グラフを書くときは、いきなり滑らかな線を描こうとせず、先にいくつかの点を打つことが大切です。特に分数の座標を含めると、曲線が座標軸に近づく様子をつかみやすくなります。

xの値	y＝1/xの値	座標
－4	－1/4	（－4，－1/4）
－2	－1/2	（－2，－1/2）
－1	－1	（－1，－1）
－1/2	－2	（－1/2，－2）
1/2	2	（1/2，2）
1	1	（1，1）
2	1/2	（2，1/2）
4	1/4	（4，1/4）

整数の点だけでは形が見えにくいこともあります。x＝1/2やx＝－1/2のような値も利用すると、縦軸付近で曲線が上や下へ伸びる特徴を表現しやすくなるでしょう。

座標を使ったグラフの書き方

続いては、実際にy＝1/xのグラフを描く手順を確認していきます。

座標軸と目盛りの準備

まず、横軸をx軸、縦軸をy軸として座標軸を引きます。目盛りは縦横で同じ間隔にそろえると、曲線の広がり方を正しく読み取りやすくなります。

y＝1/xでは、xが0に近いときにyの絶対値が急に大きくなります。そのため、紙面に収まりやすいx＝－4から4程度の範囲を想定し、yの目盛りも必要に応じて広めに取ると便利です。

原点そのものには点を打たないことも重要です。x＝0では計算ができないため、原点を通る曲線として描くのは誤りになります。

点のプロットと曲線のつなぎ方

次に、求めた座標を第1象限と第3象限に打ちます。最初は（1，1）、（2，1/2）、（1/2，2）を打つと、正の部分の形が把握しやすいでしょう。

負の部分では（－1，－1）、（－2，－1/2）、（－1/2，－2）などを打ちます。対応する点は原点に対して対称になるため、片方を丁寧に打てばもう片方の確認にもなります。

第1象限の曲線は、左上から右下へ向かうように見えます。ただし、x軸やy軸と交わることはありません。

第3象限でも同様に、左上寄りの位置から右下寄りへ進む曲線となります。軸をまたいで2本の曲線をつなげないよう、少し間を空けて描く意識が必要です。

手書きで失敗しやすいポイント

よくある間違いは、グラフを原点まで伸ばしてしまうことです。曲線は原点に近づきますが、原点へ到達するわけではありません。

また、x＝0のときにy＝0と考えるのも誤りです。1を0で割る計算はできないため、x＝0に対応するyの値は存在しません。

さらに、（2，2）や（－2，－2）のように、xとyを同じ値にしてしまう例も見られます。y＝1/xでは、x＝2のときy＝1/2であり、座標を逆数として扱う必要があります。

分母に入るxの値を必ず確認する習慣を付けると、符号や分数の取り違えを減らせます。

定義域と値域の考え方

続いては、1/xにおける定義域と値域を確認していきます。

定義域から除かれるx＝0

定義域とは、関数に入力できるxの値の範囲です。y＝1/xでは分母がxであるため、x＝0は使えません。

0以外の実数であれば、正の数でも負の数でも代入できます。小数、分数、無理数も、0でなければ定義域に含まれます。

この点は問題で頻繁に問われます。式にxが見えていても、分母にあるかどうかで条件が変わるため、分母が0にならない条件を先に調べることが基本です。

値域から除かれるy＝0

値域とは、関数から出てくるyの値の範囲です。y＝1/xでは、どのような0以外のxを選んでも、yが0になることはありません。

なぜなら、1をどれほど大きな数で割っても、結果は0に近づくだけで0にはならないからです。負の大きな数で割った場合も、負の側から0へ近づきます。

x軸そのものがグラフに含まれないのは、この値域の性質によるものです。y＝0は出力されない値として整理しておくと、漸近線の理解にもつながります。

定義域と値域の見分け方

定義域と値域は似た言葉ですが、見る向きが異なります。定義域は横方向のxについて、値域は縦方向のyについて考えるものです。

項目	見る値	y＝1/xで除かれる値	グラフ上の意味
定義域	x	0	y軸上に点がない
値域	y	0	x軸上に点がない

グラフから確認する場合は、縦線を考えてx＝0の位置にグラフがないことを見ます。横線を考えてy＝0の位置にグラフがないことを見れば、値域も確かめられます。

問題文に定義域が指定されているときは注意が必要です。たとえばx＞0に限定されるなら、第1象限の枝だけを考えることになります。

増減表と変化の特徴

続いては、1/xがどのように増えたり減ったりするのかを確認していきます。

正の範囲での減少

x＞0の範囲では、xが増えるほどy＝1/xは小さくなります。x＝1ではy＝1ですが、x＝2では1/2、x＝10では1/10となるためです。

つまり、第1象限のグラフは右へ進むほど下がります。ただし、下がり続けてもx軸には触れません。

x	0に近い正の値	1	大きい正の値
y＝1/x	とても大きい正の値	1	0に近い正の値
変化	xが増えるにつれて減少

正の範囲では右下がりという特徴は、グラフの概形を選ぶ問題でも役立ちます。比例y＝xのような右上がりの直線とは、変化の仕方が大きく異なります。

負の範囲での減少

x＜0の範囲でも、xが増えるにつれてyは減少します。たとえばx＝－4ではy＝－1/4、x＝－2ではy＝－1/2、x＝－1ではy＝－1です。

数直線上で見ると、－4から－1へ進むことはxが増えることを意味します。そのときyは－1/4から－1へと小さくなるため、負の範囲でも減少と判断できます。

負の数では大小関係が混乱しやすいところです。－1は－1/4より小さいため、表を作って確かめると安心でしょう。

増減表を読むときの注意点

増減表では、x＝0を境にして範囲を分けます。0を通れない関数なので、負の範囲と正の範囲を別々に見る必要があります。

x	－∞	0の左側	0の右側	∞
y＝1/x	0に近い負の値	－∞へ近づく	＋∞から下がる	0に近い正の値
増減	減少		減少

0の左側では、xが0へ近づくにつれてyは非常に小さい負の値になります。0の右側では、xが0へ近づくにつれてyは非常に大きい正の値になります。

x＝0付近で値が急激に変化する点こそ、1/xのグラフを特徴付ける部分です。

漸近線とグラフの近づき方

続いては、1/xの重要語である漸近線について確認していきます。

漸近線の基本的な意味

漸近線とは、グラフがどこまでも近づいていくものの、通常は交わらない直線のことです。y＝1/xでは、x軸とy軸の両方が漸近線になります。

xの絶対値を大きくするとyは0に近づくため、グラフはx軸へ近づきます。また、xを0に近づけるとyの絶対値が大きくなるため、曲線はy軸へ近づきます。

x軸に近づく様子

x＝10ならy＝0.1、x＝100ならy＝0.01です。xをさらに大きくしてもyは正のままで、0より小さくなることはありません。

負の側でも同じです。x＝－10ならy＝－0.1、x＝－100ならy＝－0.01となり、下側からx軸へ近づきます。

グラフ用紙では、遠い位置で曲線が軸と重なって見えることがあります。それでも数学的には交点がないため、近づくことと接することは別として扱います。

y軸に近づく様子

x＝0.1ならy＝10、x＝0.01ならy＝100です。正のxを0に近づけるほど、yは上へ大きく伸びます。

反対にx＝－0.1ならy＝－10、x＝－0.01ならy＝－100です。負のxを0に近づけるほど、yは下へ大きく伸びます。

このように、y軸のすぐ右側では曲線が上方へ、すぐ左側では下方へ向かいます。座標軸の近くで急に折れ曲がる線ではなく、軸に限りなく寄る滑らかな曲線として描くことがポイントです。

漸近線はグラフの形を支える目安の線と捉えると、作図時のバランスを整えやすくなります。

比例定数を含む反比例のグラフ

続いては、y＝a/xへ広げた場合の見方を確認していきます。

比例定数aが正の場合

y＝a/xでa＞0のとき、xとyの符号は同じになります。そのため、グラフはy＝1/xと同じく第1象限と第3象限に現れます。

たとえばy＝2/xでは、x＝1のときy＝2、x＝2のときy＝1です。y＝1/xと比べると、同じxに対するyの絶対値が大きくなります。

aの値が大きいほど、曲線は座標軸から離れるように広がります。ただし、漸近線そのものは変わらず、x＝0とy＝0です。

式	x＝1のときのy	通る象限	漸近線
y＝1/x	1	第1象限、第3象限	x＝0、y＝0
y＝2/x	2	第1象限、第3象限	x＝0、y＝0
y＝3/x	3	第1象限、第3象限	x＝0、y＝0

比例定数aが負の場合

y＝a/xでa＜0のとき、xとyの符号は反対になります。そのため、グラフは第2象限と第4象限に現れます。

たとえばy＝－1/xでは、x＝1ならy＝－1、x＝－1ならy＝1です。y＝1/xをx軸またはy軸に対して反転させたような位置関係になります。

aの符号でグラフが現れる象限が決まるため、問題ではまずaが正か負かを確認しましょう。点を多く打つ前に象限を判断できれば、計算ミスにも気付きやすくなります。

式からグラフを判断する手順

反比例の式を見たら、最初にaの値を確認します。次にaの正負から象限を判断し、xに代入しやすい数を選んで座標を求めます。

その後、x＝0とy＝0を漸近線として意識しながら、各点をなめらかな曲線で結びます。定義域に条件がある場合は、その範囲だけを描けば十分です。

式、表、象限、漸近線の順番で確認すると、初めて見る反比例のグラフにも対応しやすくなります。

1/xのグラフのまとめ

1/xのグラフは、xとyの積が1になる反比例のグラフです。第1象限と第3象限に二つの曲線が現れ、原点に対して対称な形になります。

定義域ではx＝0を除き、値域ではy＝0を除きます。これは、分母を0にできないことと、1をどの数で割っても0にはならないことによるものです。

また、x＞0とx＜0のそれぞれの範囲でグラフは減少します。x＝0をまたぐことはできないため、二つの範囲を分けて増減を考える必要があります。

x軸とy軸は漸近線であり、グラフは両方の軸へ限りなく近づきながら交わりません。点をいくつか打ち、軸との距離を意識して曲線を描くことが、正確な作図への近道です。

y＝a/xの形でも、aの正負で象限を確認し、定義域、値域、漸近線を順に整理すれば判断できます。表とグラフを行き来しながら、反比例ならではの変化を身に付けていきましょう。