1/(xlogx)の積分は、対数関数の微分を見抜けるかどうかが重要になる問題です。
一見すると複雑に見えますが、xlogxをxとlogxの積として捉えることで、置換積分の形へ自然に整理できます。
ただし、logxの意味や定義域、積分定数の扱いを曖昧にすると、途中式は合っていても答えとして不十分になりがちです。
この記事では、1/(xlogx)の積分公式、計算の考え方、具体例、微分による検算まで順を追って解説します。
1/(xlogx)の積分公式
それではまず1/(xlogx)の積分公式について解説していきます。
基本となる不定積分
1/(xlogx)は、通常は1/｛x log x｝と表します。
ここでlogxを自然対数lnxとして扱うなら、積分結果は次の形です。
∫ 1/(x log x) dx ＝ log｜log x｜＋C
Cは積分定数です。
この公式は、logxの微分が1/xになることを利用しています。
さらに、logx全体を新しい文字とみなせば、1/uの積分に変換できます。
答えの外側にあるlogは、logxそのものではなく、logxの絶対値に対する対数です。
そのため、log log xとだけ書くよりも、log｜log x｜と書くほうが定義域を意識した表現になります。
自然対数としてのlogの扱い
高校数学や微積分の計算では、logxが自然対数lnxを意味する場面が多くあります。
自然対数であれば、(logx)’＝1/xというシンプルな微分公式をそのまま使えます。
一方、常用対数log10xを使う場合には、微分係数に1/loge10が含まれるため注意が必要です。
問題文や教科書の約束を確認し、logが自然対数なのか常用対数なのかを最初に判断しましょう。
| 対数の種類 | 微分 | 積分での考え方 |
|---|---|---|
| 自然対数 ln x | 1/x | そのまま置換積分へ進めます |
| 常用対数 log10 x | 1/(x loge10) | 定数倍を調整する必要があります |
| 底aの対数 loga x | 1/(x loge a) | 底に応じた係数を掛けます |
特別な指定がなければ、大学数学や解析学ではlogを自然対数として読むことが一般的です。
ただし、授業や試験の表記ルールが優先されるため、周辺の記述も確認すると安心でしょう。
公式を使える条件
被積分関数1/(xlogx)では、分母が0にならない範囲を考えます。
x＝0では1/xが定義されず、x＝1ではlog1＝0となるため、どちらも積分の対象となる区間から外れます。
実数の範囲では、xは正である必要があります。
したがって計算は、0＜x＜1またはx＞1のように、x＝1をまたがない区間で考えることが大切です。
1/(xlogx)の不定積分は、x＞0かつx≠1の範囲で扱います。
答えはlog｜logx｜＋Cとなり、絶対値を入れることでlogxが負になる区間にも対応できます。
置換積分による計算手順
続いては置換積分による計算手順を確認していきます。
u＝logxと置く考え方
被積分関数にlogxがあり、同時に1/xも含まれているときは、u＝logxという置換が有力です。
実際にu＝logxと置くと、du＝1/x dxとなります。
元の式にあるdx/xの部分がduにまとまるため、計算量が一気に減ります。
u＝logx
du＝1/x dx
∫ 1/(xlogx) dx ＝ ∫ 1/u du
ここまで変形できれば、あとは1/uの積分公式を使うだけです。
置換積分では、新しい文字の微分が式の中に含まれているかを見る習慣が重要になります。
今回ならlogxの微分である1/xが分子側に隠れているため、非常に典型的な置換積分です。
1/uの積分への変形
u＝logxと置き換えた後の積分は、∫1/u duです。
これは対数関数の基本公式により、log｜u｜＋Cとなります。
最後にuをlogxへ戻せば、求める結果が得られます。
∫ 1/u du ＝ log｜u｜＋C
＝ log｜logx｜＋C
ここで絶対値を忘れると、logx＞0、すなわちx＞1の範囲だけを前提にした式になってしまいます。
不定積分を一般的な形で示すなら、log｜logx｜と表すのが基本です。
ただし、問題でx＞1と明示されているなら、log logx＋Cとしても問題ありません。
置換後に戻す際の注意点
置換積分では、uで計算を終えた後にxへ戻し忘れるミスがよくあります。
∫1/u du＝log｜u｜＋Cのままでは、元の変数xによる答えになっていません。
必ずu＝logxを代入し直し、log｜logx｜＋Cまで書きましょう。
また、積分定数Cは途中で加えても最後に加えても構いません。
計算途中で異なる定数が生じても、それらをまとめてCと表せます。
置換積分は、置く、微分する、式を置き換える、積分する、元へ戻すという流れです。
最後の元へ戻す工程まで完了して、はじめて解答として整います。
対数関数の微分との関係
続いては対数関数の微分との関係を確認していきます。
合成関数の微分公式
1/(xlogx)の積分を理解するには、log｜f(x)｜の微分公式を知っておくと便利です。
f(x)が0でない範囲では、log｜f(x)｜を微分するとf'(x)/f(x)になります。
d/dx log｜f(x)｜＝f'(x)/f(x)
ここでf(x)＝logxと考えると、f'(x)＝1/xです。
したがって、f'(x)/f(x)は1/(xlogx)になります。
つまり、被積分関数を見た時点で、log｜logx｜を微分した形だと逆向きに判断できるわけです。
微分から逆算する方法
積分問題では、置換積分を機械的に進めるだけでなく、既知の微分公式から逆算する方法も役立ちます。
分母に関数があり、分子にその関数の微分がある形は、log｜関数｜の微分を疑うとよいでしょう。
| 被積分関数の形 | 対応する原始関数 | 着目点 |
|---|---|---|
| f'(x)/f(x) | log｜f(x)｜＋C | 分子が分母の中身の微分 |
| 1/x | log｜x｜＋C | xの微分は1 |
| 1/(xlogx) | log｜logx｜＋C | logxの微分は1/x |
| 1/(x(logx)^2) | －1/logx＋C | logxをuと置換 |
この対応を覚えると、解法の選択が速くなります。
特に入試問題や定期試験では、公式の丸暗記よりも構造を読む力が得点に結び付きます。
絶対値が必要となる理由
log｜logx｜の絶対値には、対数の中身を正に保つ役割があります。
x＞1ならlogxは正であり、絶対値を外してlog logxと書けます。
一方で0＜x＜1ではlogxが負になるため、log logxは実数として定義できません。
それでもlog｜logx｜なら、logxの符号に左右されずに扱えます。
ただしx＝1ではlogxが0になるため、絶対値を付けても定義できません。
絶対値はx＝1での不連続を消すものではない点も押さえておきましょう。
計算例による理解
続いては計算例による理解を確認していきます。
基本形の計算例
まず、もっとも基本的な式を計算します。
∫ 1/(xlogx) dx
u＝logxと置くと、du＝1/x dx
∫ 1/(xlogx) dx ＝ ∫ 1/u du
＝ log｜u｜＋C
＝ log｜logx｜＋C
この例では、分子に1/xが明示されていないように見えても、dxと組み合わせることでdx/xとして扱える点がポイントです。
式全体を分数として眺めるより、微分のまとまりを探すと見通しがよくなります。
定数倍を含む計算例
次に、定数倍が付いた場合を考えます。
∫ 5/(xlogx) dx
＝5∫ 1/(xlogx) dx
＝5log｜logx｜＋C
積分では定数倍を外へ出せるため、5は最初に外へ出して構いません。
この操作を早めに行うと、置換後の式がすっきりします。
定数が分数や負の数でも同じ考え方です。
たとえば－2/(xlogx)なら、答えは－2log｜logx｜＋Cとなります。
指数を含む類題の計算例
logxの指数が変わると、答えも変化します。
たとえば1/｛x(logx)^2｝を積分する場合は、u＝logxと置くと1/u^2の積分になります。
∫ 1/(x(logx)^2) dx
＝∫ 1/u^2 du
＝∫u^－2 du
＝－u^－1＋C
＝－1/logx＋C
このように、logxをuに置換する発想は、基本形以外にも幅広く使えます。
対数の指数を見たら、置換後のuのべき乗積分へ移る流れを意識してください。
定積分での扱いと注意点
続いては定積分での扱いと注意点を確認していきます。
x＝1をまたぐ区間
1/(xlogx)を定積分する際は、積分区間にx＝1が含まれていないか必ず確かめます。
x＝1では分母が0となり、関数の値が発散します。
たとえば0から2までのようにx＝1をまたぐ積分は、通常の定積分としてそのまま計算できません。
原始関数の値を端点へ代入する前に、関数が区間内で連続かどうかを確認することが必要です。
定積分では、原始関数が求まることと、区間上で積分できることは別の問題です。
1/(xlogx)はx＝1で特異点を持つため、積分区間の設定が特に重要になります。
広義積分の発散
たとえば2から無限大までの積分を考えると、原始関数log logxはxの増加とともに大きくなります。
そのため、∫2から無限大まで1/(xlogx) dxは発散します。
これは、分母にxとlogxがあるため十分に小さくなりそうだと感じても、無限区間では面積が有限に収まらない例です。
一方、1/｛x(logx)^p｝の形では、pの値によって収束と発散が分かれます。
| 被積分関数 | 無限大付近での判定 | 理由の概要 |
|---|---|---|
| 1/(xlogx) | 発散 | 原始関数がlog logx |
| 1/(x(logx)^2) | 収束 | 原始関数が－1/logx |
| 1/(x(logx)^p) | p＞1で収束 | u＝logx後のべき積分で判定 |
積分の収束判定では、置換積分が計算技術だけでなく、関数の性質を理解する手段にもなります。
定積分の具体例
x＝1をまたがない範囲なら、原始関数を使って定積分を計算できます。
たとえばeからeの二乗までの積分を考えます。
∫eからeの二乗まで 1/(xlogx) dx
＝［log logx］eからeの二乗まで
＝log2－log1
＝log2
この区間ではx＞1なのでlogxは正です。
そのため、原始関数はlog logxとして扱えます。
端点を代入する前に、対数の値が扱いやすい数になるかを見ると、計算ミスを減らせるでしょう。
1/(xlogx)の積分のまとめ
1/(xlogx)の積分は、u＝logxと置換することで、∫1/u duの基本形へ変換できます。
結論として、自然対数を前提とする場合の不定積分はlog｜logx｜＋Cです。
計算の中心となるのは、logxの微分が1/xであるという関係です。
分母にある関数と、その微分が分子に含まれる形を見つけたら、log｜f(x)｜の微分公式を思い出しましょう。
x＝0とx＝1では式が定義されず、定積分では特にx＝1をまたぐ区間に注意が必要です。
また、logxの指数が変わる類題でも、同じ置換積分の考え方を活用できます。
公式、置換、定義域、検算を一連の流れとして身に付けることが、対数関数を含む積分問題を確実に解く近道になります。
