(1+x)の3乗や4乗の展開公式は？計算方法も解説！（二項定理：展開公式：計算例など）

(1+x)の3乗や4乗は、展開公式を使うことで素早く計算できます。

係数の並び方を覚えるだけでなく、二項定理の考え方を理解すると、文字や数が変わった問題にも対応しやすくなるでしょう。

この記事では、基本となる展開公式、計算の手順、係数の求め方、よくある間違いまで順に解説します。

(1+x)の3乗や4乗で使う展開公式

それではまず、(1+x)の3乗や4乗で使う展開公式について解説していきます。

(1+x)の3乗の展開結果

(1+x)の3乗は、同じ(1+x)を3回掛ける式です。

したがって、覚えておきたい係数は1、3、3、1です。

最初の1は定数項、最後の1はxの3乗の係数に当たります。

中央の3xと3xの2乗は、xを1個選ぶ場合と2個選ぶ場合の組み合わせから生まれる項です。

例えばxに2を代入すると、(1+2)の3乗は27になります。

展開式に代入しても、1+3掛ける2+3掛ける2の2乗+2の3乗となり、1+6+12+8で27です。

(1+x)の4乗の展開結果

(1+x)の4乗は、(1+x)を4回掛けた式です。

4乗では、係数が1、4、6、4、1と並びます。

真ん中の6は特に見落としやすいため、4、6、4という並びでまとめて覚えると便利です。

xに1を代入した場合、左辺は2の4乗なので16になります。

右辺も1+4+6+4+1となり、合計は16です。

このように、xに1を入れて両辺が一致するかを見ると、係数の確認に役立ちます。

3乗と4乗の公式一覧

基本公式を表に整理すると、必要な式をすぐに取り出せます。

式	展開後	係数の並び
(1+x)の2乗	1+2x+xの2乗	1、2、1
(1+x)の3乗	1+3x+3xの2乗+xの3乗	1、3、3、1
(1+x)の4乗	1+4x+6xの2乗+4xの3乗+xの4乗	1、4、6、4、1
(1+x)の5乗	1+5x+10xの2乗+10xの3乗+5xの4乗+xの5乗	1、5、10、10、5、1

各式では、xの指数が0から順番に1ずつ増えていきます。

一方で係数は左右対称になっており、3乗なら3と3、4乗なら4と4が対応します。

乗法による展開の計算手順

続いては、実際に掛け算を使って展開する計算手順を確認していきます。

(1+x)の2乗から作る方法

3乗や4乗の公式を暗記していないときは、まず2乗の結果を利用します。

(1+x)の2乗は、1+2x+xの2乗です。

ここにさらに(1+x)を掛ければ、3乗を求められます。

ポイントは、前のかっこ内のすべての項に1とxを掛けることです。

途中で似た項をまとめる前に、項を漏れなく書き出すと計算ミスを減らせます。

分配法則で4乗まで進める方法

4乗も、3乗の結果に(1+x)を掛けることで導けます。

(1+3x+3xの2乗+xの3乗)に1を掛けた項と、xを掛けた項を並べて整理します。

xの2乗の項は3xの2乗と3xの2乗を合わせるため、6xの2乗になります。

xの3乗の項もxの3乗と3xの3乗を合わせるので、4xの3乗です。

この整理の過程を追うと、公式の数字が暗記ではなく計算結果として理解できます。

縦にそろえる筆算風の整理

項数が増える場合は、同じ次数の項を縦にそろえる方法が有効です。

特に4乗以上では、横に長く書くと同類項を見落としやすくなります。

掛ける項	得られる項
1を掛ける	1、3x、3xの2乗、xの3乗
xを掛ける	x、3xの2乗、3xの3乗、xの4乗
同類項を整理する	1、4x、6xの2乗、4xの3乗、xの4乗

次数ごとに列をそろえると、空いている次数がないかも確認しやすくなります。

定数項から最高次の項まで順番に並べる習慣を付けると、答案の見やすさも向上するでしょう。

二項定理と係数の考え方

続いては、展開公式の土台となる二項定理と係数の考え方を確認していきます。

二項定理の基本形

二項定理は、二つの項の和を何乗かしたときの展開を表す考え方です。

(a+b)のn乗では、aとbを何個ずつ選ぶかによって各項が決まります。

(1+x)の4乗なら、xを0個、1個、2個、3個、4個選ぶ場合を考えます。

その結果、1、4、6、4、1という係数が現れます。

この見方を持つと、文字が1とx以外に変わっても展開の構造をつかめるでしょう。

組み合わせから見る係数

(1+x)の4乗では、4個のかっこからxを何個選ぶかを考えます。

xを1個だけ選ぶ方法は4通りなので、4xになります。

xを2個選ぶ方法は6通りなので、6xの2乗です。

xを選ぶ個数	選び方の数	展開後の項
0個	1通り	1
1個	4通り	4x
2個	6通り	6xの2乗
3個	4通り	4xの3乗
4個	1通り	xの4乗

例えばxを2個選ぶ場合は、4個のかっこのうちどの2個からxを取るかを選びます。

選び方が6通りあるため、係数は6です。

係数の意味を理解すれば、なぜ4乗で中央の数字が6になるのかを説明できます。

パスカルの三角形による係数

係数を手早く作る方法として、パスカルの三角形があります。

外側をすべて1にして、内側の数字は左上と右上の数字を足して作ります。

乗数	係数
0乗	1
1乗	1、1
2乗	1、2、1
3乗	1、3、3、1
4乗	1、4、6、4、1
5乗	1、5、10、10、5、1

3乗の列から4乗の列を作るときは、両端の1を残し、内側で1+3、3+3、3+1を計算します。

そのため4乗の係数は1、4、6、4、1になります。

隣り合う数の和を次の段の内側に置くという規則だけで、より高い乗数にも対応できます。

文字や数を置き換えた展開公式

続いては、1とx以外の文字や数を含む展開公式を確認していきます。

(a+b)の3乗と4乗

(1+x)の公式は、1をa、xをbに置き換えると一般的な形になります。

各項におけるaとbの指数の和は、3乗なら3、4乗なら4です。

例えばaの3乗bは4乗の項であり、aの指数3とbの指数1を足すと4になります。

この規則を確認すると、文字の指数を書き間違えるリスクを抑えられます。

(2+x)の3乗の計算例

定数が1以外の場合でも、係数の並びは同じです。

ただし、aに相当する数のべき乗を各項へ正しく掛ける必要があります。

ここで3xとしてしまうと、2の2乗や2を掛ける部分が抜けてしまいます。

(1+x)の公式をそのまま数字だけ置き換えるのではなく、(a+b)の形で考えることが重要です。

xに1を入れると左辺は3の3乗で27となり、右辺も8+12+6+1で27になります。

(x+3)の4乗の計算例

xが先に書かれた式も、aをx、bを3と見れば展開できます。

展開後は最高次のxの4乗から並べると、式全体の次数を確認しやすくなります。

定数項は3の4乗で81です。

また、係数の4と6は変わらず使い、3のべき乗によって各項の数値係数が変化します。

符号を含む式と応用計算

続いては、マイナス記号を含む展開と応用計算を確認していきます。

(1-x)の3乗

(1-x)の3乗は、(1+x)の公式でxをマイナスxに置き換えると求められます。

奇数乗の項はマイナスになり、偶数乗の項はプラスになります。

したがって符号は、プラス、マイナス、プラス、マイナスと交互に並びます。

特に最後の項はマイナスxの3乗なので、マイナスになる点に注意しましょう。

(1-x)の4乗

4乗でも同じように、xをマイナスxとして代入します。

4乗の展開では、符号がプラスから始まり、マイナス、プラス、マイナス、プラスと交互になります。

最後はマイナスxの4乗ですが、偶数乗なのでプラスxの4乗です。

符号だけを先に確認してから係数を書くと、負の数を含む式でも落ち着いて計算できます。

代入による展開結果の検算

展開式が正しいか不安なときは、簡単な数を代入して左右を比べます。

例えば(1-x)の4乗にx=2を入れると、左辺はマイナス1の4乗なので1です。

このように左右が一致すれば、計算の信頼性を高められます。

ただし、特定の数で一致しただけでは完全な証明にはなりません。

最終確認として、係数、指数、符号、定数項を順に見直すとよいでしょう。

展開公式の学習ポイントまとめ

(1+x)の3乗は1+3x+3xの2乗+xの3乗、4乗は1+4x+6xの2乗+4xの3乗+xの4乗です。

公式を使えば計算は短くなりますが、分配法則で導く方法も理解しておくと応用力につながります。

係数はパスカルの三角形や組み合わせによって求められ、左右対称になる点も重要です。

文字がaやbに変わった場合は、各項の指数の和が乗数と一致するか確かめましょう。

マイナスを含む式では、奇数乗と偶数乗による符号の違いに注意が必要です。

係数の並び、文字の指数、符号の三点を確認すれば、3乗や4乗の展開は安定して解けるようになります。