約数に1は含む？約数の定義を解説！（倍数：公約数：最大公約数：算数：数学：自分自身など）
「約数に1は含まれるの？」と疑問に思ったことはないでしょうか。
算数や数学を学ぶ中で、約数・倍数・公約数・最大公約数といった概念は非常に重要な基礎知識です。
しかし、約数の定義をきちんと理解していないと、問題を解くときに迷ってしまうことも少なくありません。
本記事では、約数に1が含まれるかどうかという疑問を出発点に、約数の定義から公約数・最大公約数まで、わかりやすく丁寧に解説していきます。
約数には1も自分自身も含まれる！定義を正しく理解しよう
それではまず、約数の基本的な定義について解説していきます。
結論からお伝えすると、約数には「1」も「その数自身」も含まれます。
これは約数の定義として数学的に明確に決まっていることであり、算数・数学のどの段階でも共通のルールです。
約数とは、ある整数をわり切ることができる整数のことを指します。
「わり切れる」とは、余りが出ずにきっちり割れることを意味するでしょう。
たとえば、6の約数を考えてみましょう。
6 ÷ 1 ＝ 6（余り0）→ 1は6の約数
6 ÷ 2 ＝ 3（余り0）→ 2は6の約数
6 ÷ 3 ＝ 2（余り0）→ 3は6の約数
6 ÷ 6 ＝ 1（余り0）→ 6は6の約数
よって、6の約数は 1・2・3・6 の4つ
このように、1はどんな整数でも必ずわり切れるため、すべての整数の約数に含まれます。
また、その数自身も「自分自身÷自分自身＝1」となり余りは0なので、自分自身も必ず約数に含まれる点を覚えておきましょう。
約数と倍数の関係を整理しよう
続いては、約数と密接に関係する「倍数」との関係を確認していきます。
約数と倍数は、表裏一体の概念です。
一方を理解することで、もう一方もより深く理解できるようになるでしょう。
倍数とは何か
倍数とは、ある整数に自然数（1・2・3・4…）をかけてできる数のことです。
たとえば3の倍数は、3・6・9・12・15…と続いていきます。
「3は6の約数」であり、同時に「6は3の倍数」という関係が成り立っているのです。
約数と倍数の言い換え関係
「AはBの約数」という表現は、「BはAの倍数」と言い換えることができます。
この関係を意識しておくと、問題文の読み取りがスムーズになるでしょう。
2は10の約数 ⟺ 10は2の倍数
5は15の約数 ⟺ 15は5の倍数
1はすべての整数の約数 ⟺ すべての整数は1の倍数
1と自分自身が特別な理由
1はすべての整数をわり切ることができるため、すべての整数の約数の中で最小のものは必ず1です。
また、自分自身は必ずわり切れることから、約数の中で最大のものはその数自身になります。
この2つは約数を列挙するときに見落としがちなので、特に注意が必要です。
公約数と最大公約数を理解しよう
続いては、複数の数に共通する約数である「公約数」と「最大公約数」を確認していきます。
公約数とは
公約数とは、2つ以上の整数に共通する約数のことです。
たとえば12と18の公約数を求めてみましょう。
12の約数：1・2・3・4・6・12
18の約数：1・2・3・6・9・18
12と18の公約数：1・2・3・6
このとき、1は必ずすべての整数の約数であるため、公約数の中には必ず1が含まれます。
最大公約数とは
最大公約数（GCD：Greatest Common Divisor）とは、公約数の中で最も大きい数のことです。
上の例では、12と18の最大公約数は6になります。
最大公約数を求めることは、分数の約分や問題の整理に役立つ非常に重要なスキルといえるでしょう。
最大公約数の求め方（素因数分解）
最大公約数を効率よく求める方法として、素因数分解があります。
12 ＝ 2² × 3
18 ＝ 2 × 3²
共通する素因数の最小のべき乗をかけ合わせる
最大公約数 ＝ 2¹ × 3¹ ＝ 6
素因数分解を使うと、大きな数の最大公約数も正確に求めることができます。
算数・数学の学習において、ぜひ身につけておきたい手法のひとつです。
約数に関するよくある疑問を整理しよう
続いては、約数についてよく出てくる疑問点をまとめて確認していきます。
0は約数に含まれる？
0を約数として扱うことは通常ありません。
なぜなら、0でわる（0除算）は数学的に定義されないためです。
約数を考えるときは、1以上の整数（または負の整数）を対象とするのが基本と押さえておきましょう。
負の数の約数はある？
数学的には、負の数も約数として扱う場合があります。
たとえば6の約数には、-1・-2・-3・-6も含まれるという考え方です。
ただし、算数や中学数学の範囲では、約数は正の整数のみを対象とすることがほとんどなので、学習段階に応じて理解しておくとよいでしょう。
約数の個数の求め方
約数の個数も、素因数分解を使えば効率よく求めることができます。
例：12の約数の個数
12 ＝ 2² × 3¹
約数の個数 ＝（2＋1）×（1＋1）＝ 3 × 2 ＝ 6個
実際：1・2・3・4・6・12 → 6個 で一致！
各素因数の指数に1を足してかけ合わせるだけで、個数がすぐにわかります。
約数の定義のポイントまとめ
以下の表に、本記事で解説した内容を整理しました。
| 用語 | 意味 | ポイント |
|---|---|---|
| 約数 | ある数をわり切れる整数 | 1と自分自身を必ず含む |
| 倍数 | ある数に自然数をかけた数 | 約数と表裏一体の関係 |
| 公約数 | 複数の数に共通する約数 | 必ず1を含む |
| 最大公約数 | 公約数の中で最大のもの | 素因数分解で効率よく求められる |
まとめ
本記事では、「約数に1は含む？」という疑問を中心に、約数の定義から倍数・公約数・最大公約数までをわかりやすく解説しました。
約数には「1」も「その数自身」も必ず含まれます。
これは算数・数学を通じて一貫するルールであり、問題を解くうえでの大切な基礎知識です。
また、約数と倍数は表裏一体の関係にあり、公約数・最大公約数を理解することで数の性質をより深く把握できるようになるでしょう。
約数の定義のポイント
・約数とはある数をわり切ることができる整数のこと
・1はすべての整数の約数に含まれる
・その数自身も必ず約数に含まれる
・公約数の中にも必ず1が含まれる
算数・数学の学習において、約数の概念は分数の計算や因数分解など、さまざまな場面で活躍します。
今回の解説を参考に、ぜひ約数の定義をしっかりと身につけてみてください。
