同じものを含む順列とは？計算方法を解説！（重複順列：組み合わせ：階乗：公式：例題：数学など）
数学の「順列」といえば、異なるものを並べる問題をイメージする方が多いでしょう。しかし実際の問題では、同じものが複数含まれるケースも頻繁に登場します。
たとえば「a、a、b、b、c」の5文字を並べる場合、普通の順列とは少し異なる考え方が必要です。
このような「同じものを含む順列」は、階乗や組み合わせの知識をベースにした専用の公式を使うことで、スムーズに解くことができます。
本記事では、同じものを含む順列の意味・公式・例題をわかりやすく解説していきます。重複順列との違いも確認しながら、理解を深めていきましょう。
同じものを含む順列は「階乗の割り算」で求める
それではまず、同じものを含む順列の本質的な考え方について解説していきます。
同じものを含む順列の答えは、全体の階乗を、同じものの個数の階乗でそれぞれ割ることで求められます。
なぜ割り算をするのでしょうか。
同じ文字が複数あると、それらを入れ替えても見た目上は同じ並びになってしまいます。そのため、単純に全体の階乗を計算しただけでは「重複して数えてしまう」部分が生まれるのです。
その重複を取り除くために、同じものの個数分の階乗で割る、という操作を行います。
同じものを含む順列の基本的な考え方は、「重複している並べ方の数を除外するために、同じものの個数の階乗で割る」こと。この発想が公式の核心です。
階乗（ factorial）とは何か
階乗とは、ある自然数nから1までの整数をすべてかけ合わせたものです。
記号は「n!」と表します。
例）5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 120
例）3! ＝ 3 × 2 × 1 ＝ 6
なお、0! ＝ 1 と定義されています。
順列や組み合わせの計算では、この階乗が非常に重要な役割を果たします。
同じものを含む順列の公式
n個のものの中に、同じものがそれぞれa個、b個、c個…含まれる場合の並べ方の総数は、次の公式で求められます。
同じものを含む順列 ＝ n! ÷ (a! × b! × c! × …)
（aとb とcの合計がnになるケースを想定）
この公式を使うことで、同じものが何種類・何個あっても対応できるのが大きな強みです。
公式が成り立つ理由を直感的に理解する
たとえば「A、A、B」の3文字を並べることを考えてみましょう。
もし2つのAを「A₁」「A₂」と区別すると、並べ方は3! ＝ 6通りです。
しかし実際には「A₁A₂B」と「A₂A₁B」は同じ「AAB」であるため、2! ＝ 2で割ることで重複を取り除きます。
結果として 6 ÷ 2 ＝ 3通りとなり、これが正しい答えです。
同じものを含む順列の例題で理解を深める
続いては、具体的な例題を通じて計算の流れを確認していきます。
公式を覚えるだけでなく、実際の問題で手を動かすことが理解への近道です。
例題1：5文字の並べ方
問題：a、a、a、b、b の5文字をすべて並べるとき、異なる並べ方は何通りあるか。
解答：5! ÷ (3! × 2!) ＝ 120 ÷ (6 × 2) ＝ 120 ÷ 12 ＝ 10通り
aが3個、bが2個あるので、それぞれの階乗で割るのがポイントです。
例題2：文字列「MISSISSIPPI」の並べ方
問題：「MISSISSIPPI」（11文字）の並べ方は何通りか。
各文字の個数：M→1個、I→4個、S→4個、P→2個
解答：11! ÷ (1! × 4! × 4! × 2!) ＝ 39916800 ÷ (1 × 24 × 24 × 2) ＝ 34650通り
このように複数種類の同じ文字が含まれる場合も、それぞれの個数の階乗で割っていくだけです。
例題を整理した比較表
| 問題の文字列 | 全体の個数 | 計算式 | 答え |
|---|---|---|---|
| a、a、a、b、b | 5文字 | 5! ÷ (3! × 2!) | 10通り |
| A、A、B | 3文字 | 3! ÷ 2! | 3通り |
| MISSISSIPPI | 11文字 | 11! ÷ (4! × 4! × 2!) | 34650通り |
重複順列・組み合わせとの違いを整理する
続いては、混同しやすい「重複順列」や「組み合わせ」との違いを確認していきます。
それぞれの概念を正しく区別することが、問題を解く際の判断基準になります。
重複順列との違い
重複順列とは、同じものを何度でも繰り返し使って並べる順列のことです。
たとえば「0と1の2種類の数字を使って4桁の数を作る」場合、各桁に0か1のどちらでも選べるため 2⁴ ＝ 16通りとなります。
重複順列の公式：n種類のものからr個を選んで並べる場合 → nʳ通り
例）2種類から4個並べる → 2⁴ ＝ 16通り
一方、同じものを含む順列は「すでに手元にある同じものを並べる」問題です。使い方の発想が根本的に異なります。
組み合わせとの違い
組み合わせ（C）は、順番を考慮しない選び方の数です。
順列は並び順が異なると別の並べ方とみなしますが、組み合わせでは順番を問いません。
| 概念 | 順番の考慮 | 特徴 |
|---|---|---|
| 通常の順列 | あり | すべて異なるものを並べる |
| 同じものを含む順列 | あり | 同じものが含まれ、重複を除く |
| 重複順列 | あり | 同じものを繰り返し使える |
| 組み合わせ | なし | 選ぶだけで並び順は不問 |
どの公式を使うかの判断基準
問題を見たとき、まず「並べるのか・選ぶだけか」を判断しましょう。
並べる問題なら順列系、選ぶだけなら組み合わせです。
さらに順列の中で「同じものが含まれているか」「同じものを繰り返し使えるか」を確認することで、使うべき公式が自然と絞られてくるでしょう。
問題文の「すべて並べる」「繰り返し使える」「選ぶだけ」というキーワードを見逃さないことが、公式選択のカギです。
まとめ
同じものを含む順列は、全体の階乗を同じものの個数の階乗で割るという公式で求めることができます。
重複して数えてしまう並べ方を取り除くという発想を理解しておくと、公式を丸暗記しなくても自然と使いこなせるようになるでしょう。
重複順列・組み合わせとの違いもしっかり整理しておくことで、問題のタイプを素早く見極める力が身につきます。
例題を繰り返し解きながら、階乗の計算にも慣れていきましょう。
同じものを含む順列は、高校数学の順列・組み合わせ分野の中でも頻出テーマのひとつです。本記事を参考に、ぜひ得意分野にしてみてください。
