cos120度の値を正しく求められますか？
120度は第2象限に属するため符号の扱いに注意が必要であり、苦手意識を持つ方も多い角度です。
この記事ではcos120度の値・計算方法・覚え方のコツをわかりやすく解説します。
cos120度の値は−1/2！参照角と象限の符号を使えば簡単に求められる！
それではまずcos120度の値とその求め方の基本について解説していきます。
cos120° ＝ −1/2
120°は第2象限に属し、CASTよりcosは負になります。
120度の参照角は180° − 120° ＝ 60°であり、cos60° ＝ 1/2に対してcosが負の象限（第2象限）にあるため符号を反転させます。
したがってcos120° ＝ −cos60° ＝ −1/2となります。
参照角を使ったcos120度の計算手順
ステップ1：120°が第2象限であることを確認
ステップ2：参照角 ＝ 180° − 120° ＝ 60°
ステップ3：CASTより第2象限ではcosは負
ステップ4：cos120° ＝ −cos60° ＝ −1/2
このステップを覚えておくことで、第2〜第4象限の角度でも同じ方法で計算できます。
参照角とCASTを組み合わせた解法は、三角関数の計算において非常に汎用性の高いアプローチでしょう。
単位円でcos120度を確認する
単位円上でθ ＝ 120°の点は(−1/2, √3/2)となります。
x座標がcos120°に対応するため、cos120° ＝ −1/2が確認できます。
単位円を使った確認は、符号の正しさをチェックする上でも非常に効果的です。
単位円上の座標を座標(cos, sin)として読むという感覚を身につけておくと、すべての特殊角に応用できるようになるでしょう。
cos120度の覚え方のコツ
cos120度を覚えるコツは「120 ＝ 180 − 60」と分解することです。
180°からの差が60°であり、第2象限でcosは負になることを組み合わせると−1/2という値が自然に導き出せます。
また「cos120° ＝ −cos60°」という変換式を覚えておくのも効果的でしょう。
cos120度に関連する三角関数の値の比較
続いてはcos120度に関連する三角関数の値を比較して確認していきます。
120度におけるsin・cos・tanの値
| 関数 | 値 | 符号の理由 |
|---|---|---|
| cos120° | −1/2 | 第2象限：cos負 |
| sin120° | √3/2 | 第2象限：sin正 |
| tan120° | −√3 | 第2象限：tan負 |
第2象限ではsinのみが正であり、cosとtanは負になります。
CASTのS（第2象限）を覚えておくことで、この符号の関係が自然に導けるでしょう。
cos120度を含む計算問題の例
例題：sin²120° + cos²120° ＝ ？
sin120° ＝ √3/2、cos120° ＝ −1/2
(√3/2)² + (−1/2)² ＝ 3/4 + 1/4 ＝ 1
三角関数の基本公式「sin²θ + cos²θ ＝ 1」の確認にもなる問題です。
どの角度でもこの等式が成り立つことが三角関数の重要な性質です。
cos120度と補角の関係
120°と60°は「補角（合わせて180°になる角度）」の関係にあります。
補角の公式「cos(180° − θ) ＝ −cosθ」を使うとcos120° ＝ cos(180° − 60°) ＝ −cos60° ＝ −1/2と求められます。
補角の公式は第2象限の三角関数を求める際の強力なツールです。
cos120度の応用と発展知識
続いてはcos120度の応用と発展的な知識を確認していきます。
cos120度が登場する実際の問題
cos120度は正三角形の頂角や電気工学の三相交流など、実際の問題でも頻繁に登場します。
正三角形の各頂角は60°であり、隣り合う辺が成す外角が120°になることから、cos120° ＝ −1/2は幾何の計算でも重要な値です。
cos120度と倍角公式の関係
倍角公式を使った確認：
cos(2 × 60°) ＝ 2cos²60° − 1
＝ 2 × (1/2)² − 1 ＝ 2 × 1/4 − 1 ＝ 1/2 − 1 ＝ −1/2
よって cos120° ＝ −1/2 と確認できます。
倍角公式を使った検算は、答えの正しさを確認する有効な方法です。
cos120度を覚えるための総まとめ
cos120°の値を確実に覚えるためのポイントを最終的に整理します。
120°は第2象限、参照角は60°、第2象限でcosは負、cos60° ＝ 1/2、よってcos120° ＝ −1/2というフローを頭に刷り込みましょう。
「120°のcosは−1/2」という結論だけでなく、導き方まで理解することが応用力につながります。
まとめ
cos120°の値は−1/2であり、参照角60°のcos値（1/2）に第2象限での負の符号を組み合わせて求められます。
単位円上の点(−1/2, √3/2)を確認することで、cos120° ＝ −1/2が視覚的にも確認できます。
補角の公式「cos(180° − θ) ＝ −cosθ」や倍角公式を使っても同じ値が導けるため、複数の方法で理解を深めることが大切でしょう。
CASTによる符号判定と参照角の組み合わせを習得することで、あらゆる角度の三角関数を正確に求められるようになります。
