数列の基本として、等比数列の一般項の公式と求め方を正確に理解することは非常に重要です。
「等比数列の第n項の式はどうなるのか」「初項・公比からどうやって一般項を導くのか」という疑問を持つ方も多いのではないでしょうか。
この記事では、等比数列の一般項の定義・公式・求め方・具体的な計算例・応用問題での使い方まで、詳しく解説していきます。
等比数列の一般項とは何か？基本的な結論
それではまず、等比数列の一般項の基本的な定義と、押さえるべき結論から解説していきます。
等比数列の一般項a_nとは、「初項a・公比rの等比数列において、第n項の値をnの式として表したもの」であり、公式はa_n = ar^{n-1}です。
等比数列の一般項の公式：a_n = ar^{n-1}（a：初項、r：公比、n：項番号）。この式は「第1項がa、第2項がar、第3項がar²、…、第n項がar^{n-1}」という等比数列の構造を直接表しています。公比がr=1のときはすべての項がaという定数数列になります。
一般項の公式a_n = ar^{n-1}において、指数がn-1（nではなくn-1）であることは最も混乱しやすいポイントです。
第1項（n=1）のとき、ar^{1-1} = ar^0 = a×1 = aとなり、確かに初項aになることを確認できます。
一般項の求め方の手順
続いては、与えられた情報から等比数列の一般項を求める手順を確認していきます。
初項と公比が与えられた場合
例題：初項2・公比3の等比数列の一般項を求めよ
a=2, r=3を a_n = ar^{n-1} に代入する
a_n = 2 × 3^{n-1}
確認：a_1=2×3⁰=2、a_2=2×3¹=6、a_3=2×3²=18 → 2, 6, 18, …（公比3）✓
数列から初項・公比を読み取る場合
例題：数列 5, 10, 20, 40, … の一般項を求めよ
初項 a=5（最初の項）
公比 r = 10/5 = 2（隣接する項の比）
一般項：a_n = 5 × 2^{n-1}
2項が与えられた場合の一般項の求め方
例題：第2項が6・第5項が48の等比数列の一般項を求めよ
a_2 = ar = 6 …①
a_5 = ar⁴ = 48 …②
②÷①：r³ = 48/6 = 8 → r = 2
①にr=2を代入：a×2=6 → a=3
一般項：a_n = 3 × 2^{n-1}
一般項の公式の証明
続いては、等比数列の一般項a_n = ar^{n-1}の証明を確認していきます。
帰納的な導出
等比数列は「各項が前の項にrをかけた値」という定義から、以下のように導かれます。
等比数列の一般項の導出：
a_1 = a
a_2 = a_1 × r = ar
a_3 = a_2 × r = ar²
a_4 = a_3 × r = ar³
⋮
a_n = ar^{n-1}（rをn-1回かけた結果）
この導出から、「第n項は初項にrを(n-1)回かけたもの」という直感的な理解が得られます。
一般項を使った問題の解法
続いては、一般項を使った典型的な問題の解法を確認していきます。
第n項がある値になるnを求める問題
例題：初項3・公比2の等比数列で、第何項が384か求めよ
a_n = 3 × 2^{n-1} = 384
2^{n-1} = 128 = 2⁷
n-1 = 7 → n = 8
答え：第8項
等比数列か判定する問題
数列{a_n}が等比数列かどうかを判定するには、隣接する項の比a_{n+1}/a_nが定数（公比）になっているかを確認します。
a_{n+1}/a_n = r（定数）が成立すれば等比数列であり、変化する場合は等比数列ではありません。
まとめ
この記事では、等比数列の一般項の定義・公式（a_n = ar^{n-1}）・初項と公比からの求め方・2項が与えられた場合の解法・公式の証明・応用問題の解法について詳しく解説しました。
一般項の核心は「a_n = ar^{n-1}という式において指数がn-1であること」と「2項から初項・公比を連立方程式で求める方法」の2点を正確に理解することにあります。
ぜひこの記事を参考に、等比数列の一般項の理解を深め、数列の問題に自信を持って取り組んでください。
