等比数列や無限等比級数の「極限」を理解することは、微積分・解析学への橋渡しとなる重要なテーマです。
|r|＜1のときの収束・発散・無限等比級数・数列の極限値といったキーワードとともに、等比数列の極限を正確に理解しましょう。
この記事では、等比数列の極限の意味・収束条件（|r|＜1など）・無限等比級数の和・計算方法まで、詳しく解説していきます。
等比数列の極限とは何か？基本的な結論
それではまず、等比数列の極限の基本と、押さえるべき結論から解説していきます。
等比数列{ar^{n-1}}（またはr^n）の極限とは、「nを無限大に近づけたとき、数列の第n項がどのような値に近づくか（収束するか・発散するか）」を調べることです。
等比数列の極限の場合分け（公比rの値による）：|r|＜1のとき：lim_{n→∞} rⁿ = 0（収束：0に近づく）、r=1のとき：rⁿ=1（定数1のまま）、r=-1のとき：-1と1を交互に取る（振動・発散）、|r|＞1のとき：|rⁿ|→∞（発散：絶対値が無限大に発散）。この場合分けが極限問題の基本です。
等比数列の極限において最も重要な条件が「|r|＜1（公比の絶対値が1より小さい）」というr^n→0の収束条件です。
公比rの値と極限の関係
続いては、公比rの値ごとの極限の挙動を詳しく確認していきます。
|r|＜1（-1＜r＜1）のとき
|r|＜1のとき：lim_{n→∞} rⁿ = 0
例1：r=0.5のとき、0.5^n = 1/2ⁿ → 0（急速に0に近づく）
例2：r=-0.5のとき、(-0.5)^n は正負交互に変化しながら0に近づく
例3：r=0のとき、0^n = 0（n≥1のとき、即座に0）
r=1のとき
r=1のとき、数列は{a, a, a, …}（定数数列）であり、極限値はa（定数）に収束します。
r=-1のとき
r=-1のとき、数列は{a, -a, a, -a, …}と振動し、極限値は存在しない（発散・振動）します。
|r|＞1のとき
|r|＞1のとき、|rⁿ|→∞（無限大に発散）します。
r＞1なら正の無限大へ発散、r＜-1なら正負交互に絶対値が増大する振動的発散となります。
無限等比級数の収束と和の公式
続いては、等比数列の無限個の和（無限等比級数）の収束条件と和の公式を確認していきます。
無限等比級数の定義と収束条件
無限等比級数とは、初項a・公比rの等比数列の無限個の和 S = a + ar + ar² + ar³ + … = Σ_{k=0}^{∞} ar^kのことです。
有限和 S_n = a(1-rⁿ)/(1-r)（r≠1）において、|r|＜1のとき rⁿ→0なので：
無限等比級数の和の公式（|r|＜1のとき）：
S = lim_{n→∞} S_n = lim_{n→∞} a(1-rⁿ)/(1-r) = a(1-0)/(1-r) = a/(1-r)
条件：|r|＜1（-1＜r＜1）かつ r≠0 のとき収束
|r|≥1 のとき S_nは発散（無限等比級数の和は存在しない）
無限等比級数の具体的な計算例
例題：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … の和を求めよ
a=1, r=1/2, |r|=1/2 < 1 なので収束
S = 1/(1-1/2) = 1/(1/2) = 2
確認：S_n = 1×(1-(1/2)^n)/(1-1/2) = 2(1-(1/2)^n) → 2 ✓
無限等比級数の応用問題
続いては、無限等比級数の応用的な問題を確認していきます。
循環小数を分数に変換する応用
無限等比級数は、循環小数を分数に変換する際にも活用できます。
循環小数 0.3333… を分数に変換：
0.3333… = 0.3 + 0.03 + 0.003 + …
a = 0.3, r = 0.1, |r| < 1 なので収束
S = 0.3/(1-0.1) = 0.3/0.9 = 1/3
したがって 0.3333… = 1/3 ✓
まとめ
この記事では、等比数列の極限（|r|＜1で収束・|r|＞1で発散・|r|=1の場合分け）・無限等比級数の収束条件と和の公式（S=a/(1-r)）・循環小数への応用について詳しく解説しました。
等比数列の極限の核心は「|r|＜1のときrⁿ→0で無限等比級数がS=a/(1-r)に収束し、|r|≥1のときは発散する」という収束条件の場合分けにあります。
ぜひこの記事を参考に、等比数列の極限と無限等比級数への理解を深めてください。
