「放物線を平行移動するとどうなるの？」という疑問は、二次関数を学ぶ中で自然に出てくるものです。
放物線の平行移動は、頂点の座標の変化として理解することで非常にシンプルに扱うことができます。
本記事では、放物線の平行移動の公式と解き方を、頂点の移動・対称移動・グラフの変換・移動後の方程式とともに丁寧に解説していきます。
放物線の平行移動はx→x−p、y→y−qで表せる（結論）
それではまず、放物線の平行移動の公式と基本的な考え方について結論から解説していきます。
放物線 y＝f(x) をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は y−q＝f(x−p) つまり y＝f(x−p)＋qです。
二次関数 y＝ax² を例にとると、平行移動後の方程式は y＝a(x−p)²＋q となり、頂点が原点（0，0）から（p，q）に移動します。
平行移動ではグラフの形（aの値）は変わらず、位置だけが変化します。
平行移動の公式の導出
曲線 y＝f(x) 上の点（x，y）が移動後の曲線上の点（X，Y）に対応するとき、X＝x＋p、Y＝y＋q の関係があります。
x＝X−p、y＝Y−q を元の方程式 y＝f(x) に代入すると Y−q＝f(X−p)、すなわち Y＝f(X−p)＋q が移動後の方程式です。
「xをx−pに、yをy−qに置き換える」という操作が平行移動の本質です。
具体的な計算例
y＝2x²−4x＋1 をx軸方向に3、y軸方向に−2 平行移動した方程式を求める。
xをx−3に、yをy＋2に置き換える：
y＋2＝2(x−3)²−4(x−3)＋1
＝2(x²−6x＋9)−4x＋12＋1
＝2x²−12x＋18−4x＋13
＝2x²−16x＋31
移動後：y＝2x²−16x＋29
頂点形を使った平行移動（最も効率的な方法）
頂点形 y＝a(x−h)²＋k を使うと、平行移動後の頂点座標が一目で分かります。
y＝2(x−1)²＋3 をx方向に2、y方向に−4 移動すると y＝2(x−3)²−1（頂点が（1，3）→（3，−1）に移動）となります。
頂点形で管理することで、平行移動の計算が非常に簡潔になります。
対称移動の方法と種類
続いては、放物線の対称移動について確認していきます。
x軸・y軸・原点に対する対称移動
| 対称移動の種類 | 変換規則 | y＝ax²への適用 |
|---|---|---|
| x軸に対する対称 | yを−yに置換 | y＝−ax² |
| y軸に対する対称 | xを−xに置換 | y＝a(−x)²＝ax²（変化なし） |
| 原点に対する対称 | x→−x、y→−y | y＝−ax² |
| 直線y＝xに対する対称 | x・yを入れ替え | x＝ay²（横向き放物線） |
複合変換（平行移動＋対称移動）
平行移動と対称移動を組み合わせる問題では、変換の順序に注意が必要です。
一般に「対称移動を先に行ってから平行移動する」か「変換規則を直接方程式に適用する」方法が混乱しにくいでしょう。
変換規則をその都度確認し、xとyの置き換えを正確に行うことがポイントです。
放物線 y＝f(x) をx方向にp、y方向にq平行移動すると y＝f(x−p)＋q となります。頂点形 y＝a(x−h)²＋k を使うと頂点が（h，k）→（h＋p，k＋q）に移動するだけで、最も効率的に計算できます。対称移動はx・yの符号を変える操作として覚えましょう。
まとめ
本記事では、放物線の平行移動の公式と解き方を、頂点の移動・対称移動・複合変換の観点から解説しました。
「xをx−pに、yをy−qに置き換える」という操作の意味を理解することで、どのような放物線の変換問題にも対応できるようになります。
頂点形を活用した効率的な計算方法を身につけ、グラフの変換問題を得意分野にしていただければ幸いです。
