アークタンジェントに関する公式は、加法定理・倍角公式・変換公式など多岐にわたります。
「arctan同士を足したらどうなる？」「arctan(x)をarcsin(x)に変換できるの？」など、様々な疑問が生まれることがあるでしょう。
この記事では、アークタンジェントの基本公式・加法定理・倍角公式・変換公式を体系的に整理してわかりやすく解説していきます。
数学の試験対策はもちろん、工学や物理の計算でも役立つ内容ですので、ぜひ最後まで確認してみてください。
アークタンジェントの基本公式と加法定理
それではまず、アークタンジェントの基本公式と加法定理について解説していきます。
最もよく使われる公式は加法定理（arctanの和の公式）です。
arctanの加法定理：
arctan(x) + arctan(y) ＝ arctan((x+y)/(1-xy)) + nπ
（xy ≠ 1、n は整数で値域の補正のために使用）
特に xy ＜ 1 の場合：arctan(x) + arctan(y) ＝ arctan((x+y)/(1-xy))
この公式はタンジェントの加法定理「tan(α+β) ＝ (tanα + tanβ)/(1 – tanα tanβ)」からarctan両辺に適用することで導かれます。
公式の使用には xy ≠ 1 という条件と、値域の補正に注意が必要です。
加法定理の導出
arctan(x) + arctan(y) ＝ θ とおくと、tan(θ) ＝ tan(arctan(x) + arctan(y)) です。
タンジェントの加法定理を適用すると、tan(θ) ＝ (x + y)/(1 – xy) となります。
これをarctan両辺に適用すると、上記の加法定理の公式が導けます。
実際の計算ではxyの符号と大きさによって補正項nπが変わる場合がありますので注意しましょう。
加法定理の具体的な使用例
計算例：arctan(1/2) + arctan(1/3) の値を求める
x ＝ 1/2、y ＝ 1/3、xy ＝ 1/6 ＜ 1
(x+y)/(1-xy) ＝ (1/2 + 1/3)/(1 – 1/6) ＝ (5/6)/(5/6) ＝ 1
よって arctan(1/2) + arctan(1/3) ＝ arctan(1) ＝ π/4
このようにarctan同士を足すことで特殊値（π/4など）が得られることがあります。
マチンの公式もこのような加法定理の応用です。
arctan(x) + arctan(1/x) の値
x ＞ 0 のとき、arctan(x) + arctan(1/x) ＝ π/2 という重要な関係があります。
これはarctanの補角関係と呼ばれ、グラフの対称性とも関連しています。
x ＜ 0 のときは arctan(x) + arctan(1/x) ＝ -π/2 となります。
倍角公式と半角公式
続いては、アークタンジェントの倍角公式と半角公式について確認していきます。
arctan(x)の倍角公式
倍角公式：
2 × arctan(x) ＝ arctan(2x/(1-x²)) （|x| ＜ 1 のとき）
導出：加法定理で x ＝ y とおくと、
arctan(x) + arctan(x) ＝ arctan((x+x)/(1-x²)) ＝ arctan(2x/(1-x²))
これはタンジェントの2倍角公式「tan(2θ) ＝ 2tanθ/(1-tan²θ)」に対応しており、arctan同士の計算で有用です。
arctan(x)の半角公式
半角公式はやや複雑ですが、次のような関係が成り立ちます。
半角公式（関連式）：
arctan(x) ＝ 2 × arctan(x/(1 + √(1+x²)))
これはarctan(x)をより収束しやすい形に変換するための公式です
この公式は数値計算でarctan(x)の級数収束を速める目的で使われることがあります。
公式の活用場面
| 公式名 | 式 | 主な活用場面 |
|---|---|---|
| 加法定理 | arctan(x)+arctan(y)＝arctan((x+y)/(1-xy)) | arctanの和の計算・πの公式 |
| 補角関係 | arctan(x)+arctan(1/x)＝π/2（x＞0） | 角度の補完・対称性の証明 |
| 倍角公式 | 2arctan(x)＝arctan(2x/(1-x²)) | 角度の倍算・数値計算 |
| 奇関数性 | arctan(-x)＝-arctan(x) | 符号の処理・対称性の利用 |
これらの公式は相互に関連しており、数学の問題を解く際には状況に応じて使い分けることが大切です。
逆三角関数間の変換公式
続いては、アークタンジェントと他の逆三角関数の変換公式について解説していきます。
arctan(x)とarcsin(x)の変換
arctan(x) ＝ arcsin(x/√(1+x²))
（直角三角形の辺の比から導出）
例：arctan(1) ＝ arcsin(1/√2) ＝ π/4 ✓
この変換は直角三角形において、tanθ＝xのとき対辺x・隣辺1・斜辺√(1+x²)の関係から導けます。
三角形の図を描いて確認すると理解しやすいでしょう。
arctan(x)とarccos(x)の変換
同様に、arctan(x) ＝ arccos(1/√(1+x²)) という変換公式も成り立ちます。
これらの変換公式は積分計算や方程式の解法でも使われる実用的な公式です。
arctanとarctanの差の公式
差の公式：
arctan(x) – arctan(y) ＝ arctan((x-y)/(1+xy)) （xy ＞ -1 のとき）
例：arctan(2) – arctan(1) ＝ arctan((2-1)/(1+2)) ＝ arctan(1/3)
差の公式も加法定理と同様の方法で導くことができます。
複数の角度の計算をコンパクトにまとめたいときに役立つ公式です。
まとめ
この記事では、アークタンジェントの加法定理・補角関係・倍角公式・逆三角関数間の変換公式について解説しました。
加法定理は最も重要な公式であり、arctan同士の和や差を一つのarctanにまとめる際に使います。
補角関係・倍角公式・変換公式なども組み合わせることで、複雑な問題も整理して解くことができます。
公式の導出過程を理解しておくと暗記の助けになり、応用力も高まるでしょう。
ぜひこれらの公式を活用して、数学・工学の計算に役立ててみてください。
