アークタンジェントの微分は、大学数学や受験数学でも頻繁に登場する重要なテーマです。
「arctan(x)を微分すると何になるの？」「どうやって導出するの？」という疑問を持つ方も多いでしょう。
この記事では、アークタンジェントの微分公式・証明・計算手順について、ステップごとにわかりやすく解説していきます。
逆三角関数の微分が苦手な方も、この記事を読めばしっかり理解できる内容になっています。
アークタンジェントの微分公式は「1/(1+x²)」
それではまず、アークタンジェントの微分公式について解説していきます。
アークタンジェントの微分公式：
d/dx [arctan(x)] ＝ 1 / (1 + x²)
これがアークタンジェントの基本微分公式です。
シンプルな形ですが、この公式は積分や微分方程式など様々な場面で使われます。
まず結論の公式を覚えておき、その後で証明を理解するという順序で学習すると効率的でしょう。
証明の準備：逆関数の微分定理
arctan(x)の微分を証明するために、まず逆関数の微分定理を確認します。
逆関数の微分定理：
y ＝ f⁻¹(x) のとき、dy/dx ＝ 1 / (dx/dy)
（逆関数の微分は、もとの関数の微分の逆数）
arctan(x)はtan(y)の逆関数ですので、y＝arctan(x) ⟺ x＝tan(y)と表せます。
この関係を利用して微分を求めるのが基本的な証明手順です。
証明の手順
y ＝ arctan(x) とおくと、x ＝ tan(y) です。
両辺をyで微分すると、dx/dy ＝ 1/cos²(y) ＝ sec²(y) となります。
逆関数の微分定理より、dy/dx ＝ 1/(dx/dy) ＝ cos²(y) となります。
次に、tan²(y) ＋ 1 ＝ sec²(y) より、cos²(y) ＝ 1/(1 ＋ tan²(y)) です。
x ＝ tan(y) を代入すると、cos²(y) ＝ 1/(1 ＋ x²) となります。
よって、dy/dx ＝ 1/(1 ＋ x²) が証明されました。
三角関数の恒等式の活用
証明の中で使った「tan²(y) ＋ 1 ＝ sec²(y)」は三角関数の基本恒等式のひとつです。
sin²(y) ＋ cos²(y) ＝ 1 を両辺cos²(y)で割ると導けます。
逆三角関数の微分証明では三角関数の恒等式が頻繁に登場しますので、基本恒等式は必ず覚えておきましょう。
合成関数への応用
続いては、アークタンジェントの微分を合成関数に応用する方法について確認していきます。
合成関数の微分（チェーンルール）
arctan(f(x))の形の合成関数を微分するには、チェーンルール（連鎖律）を使います。
合成関数の微分：
d/dx [arctan(f(x))] ＝ f'(x) / (1 + [f(x)]²)
例：arctan(2x) の微分
＝ 2 / (1 + 4x²)
f(x)の微分f'(x)を分子に乗せる形になります。
計算の際はf(x)を先に求め、f'(x)を分子に置く手順を意識すると間違いが減ります。
具体的な計算例
| 関数 | 微分結果 |
|---|---|
| arctan(x) | 1/(1+x²) |
| arctan(2x) | 2/(1+4x²) |
| arctan(x²) | 2x/(1+x⁴) |
| arctan(√x) | 1/(2√x・(1+x)) |
| x・arctan(x) | arctan(x) + x/(1+x²) |
このように様々な合成関数の微分が基本公式から導けます。
積の微分との組み合わせ
x・arctan(x)のように積の形になっているときは、積の微分法則を使います。
{f(x)g(x)}’ ＝ f'(x)g(x) ＋ f(x)g'(x) という公式です。
上の表の最後の例では、f(x)＝x、g(x)＝arctan(x)とおいて計算しています。
積の微分とチェーンルールを組み合わせることで、複雑な関数の微分も丁寧に処理できます。
逆三角関数の微分公式一覧
続いては、arctan以外の逆三角関数の微分公式もまとめて確認していきます。
逆三角関数の微分はセットで覚えると理解しやすいでしょう。
逆三角関数の微分公式一覧：
・d/dx[arcsin(x)] ＝ 1/√(1-x²)
・d/dx[arccos(x)] ＝ -1/√(1-x²)
・d/dx[arctan(x)] ＝ 1/(1+x²)
arcsinとarccosの微分は符号が逆になっていること、arctanの微分は√が不要でシンプルな形になっていることが特徴です。
これらの公式は積分表の導出にも直結しますので、微分と積分の両面から理解しておくと学習効率が高まります。
arctanの微分と積分の関係
arctan(x)の微分が1/(1+x²)であることから、逆に1/(1+x²)の積分がarctan(x)＋Cになることがわかります。
これはarctan型の積分公式として広く使われており、有理関数の積分計算で頻繁に登場します。
微分と積分は逆の操作ですので、微分公式を覚えることが積分計算の力にも直結します。
まとめ
この記事では、アークタンジェントの微分公式・証明・合成関数への応用・逆三角関数の微分一覧について解説しました。
arctan(x)の微分は1/(1+x²)であり、逆関数の微分定理と三角関数の恒等式を使って証明できます。
合成関数への応用ではチェーンルールを活用し、積の微分との組み合わせも覚えておくと様々な問題に対応できます。
逆三角関数の微分公式はセットで理解すると記憶しやすく、積分計算との関係も深いため、ぜひ本記事の内容を活用してみてください。
