微分の学習を進めていると、arcsin(x²)の微分という形に出会う場面があります。
arcsin(x²)はarcsinxの引数がx²に変わった形であり、合成関数の微分を使うことで解くことができます。
この記事では、arcsin(x²)の微分公式の内容とその証明方法、合成関数の微分との関係について、わかりやすく丁寧に解説していきます。
arcsin(x²)の微分の公式は2x/√(1－x⁴)
それではまず、arcsin(x²)の微分の公式について解説していきます。
arcsin(x²)を微分すると、次のような結果が得られます。
d/dx(arcsin(x²))＝2x/√(1－x⁴)（－1＜x²＜1、すなわち－1＜x＜1）
2x/√(1－x⁴)という形は、arcsinxの微分公式に合成関数の微分を組み合わせることで導き出すことができます。
分子に2xが現れるのは内側の関数x²を微分した結果であり、分母のx⁴は(x²)²から来ています。
公式の各部分がどこから来ているかを理解しておくと、応用問題にもスムーズに対応できるでしょう。
公式の証明：合成関数の微分を使った方法
arcsin(x²)の微分の証明は、合成関数の微分法を使うことでシンプルに導くことができます。
arcsinxの微分公式：d/dx(arcsinx)＝1/√(1－x²)
arcsin(x²)はarcsinuのu＝x²とおいた合成関数です。
合成関数の微分より、
d/dx(arcsin(x²))＝d/du(arcsinu)×d/dx(x²)
＝1/√(1－u²)×2x
u＝x²を代入すると、＝2x/√(1－(x²)²)＝2x/√(1－x⁴)
証明のポイントは、外側の微分と内側の微分をかけ合わせる合成関数の微分の手順を正確に追うことです。
u＝x²とおくことで、arcsinuの微分公式をそのまま活用できる形に変形できます。
合成関数の微分の手順を整理する
合成関数の微分の手順を改めて整理しておきましょう。
f(g(x))の微分は f'(g(x))×g'(x) で求められます。
arcsin(x²)の場合、
f(u)＝arcsinu → f'(u)＝1/√(1－u²)
g(x)＝x² → g'(x)＝2x
d/dx(arcsin(x²))＝f'(g(x))×g'(x)＝1/√(1－x⁴)×2x＝2x/√(1－x⁴)
「外側の微分×内側の微分」という手順を意識することで、合成関数の微分をスムーズに計算できます。
この手順はあらゆる合成関数の微分に共通して使える考え方です。
定義域の確認
arcsin(x²)は定義域が限定されている関数であるため、注意が必要です。
arcsinuの定義域は－1≦u≦1
u＝x²とおくと、0≦x²≦1 より －1≦x≦1
微分可能な範囲：－1＜x＜1（x＝±1では分母が0になるため微分不可能）
x²は常に0以上であるため、定義域はarcsinxよりも狭い範囲に制限されます。
問題を解く際は定義域を確認してから計算を進めることが大切です。
arcsin(x²)の微分と合成関数の微分の関係を整理しよう
続いては、arcsin(x²)の微分と合成関数の微分の関係について確認していきます。
引数がx²に変わった場合の微分は、合成関数の微分の考え方をそのまま応用することができます。
| 関数 | 微分結果 | 内側の微分 |
|---|---|---|
| arcsinx | 1/√(1－x²) | 1 |
| arcsin(2x) | 2/√(1－4x²) | 2 |
| arcsin(x²) | 2x/√(1－x⁴) | 2x |
| arcsin(x³) | 3x²/√(1－x⁶) | 3x² |
表から、内側の関数の微分が分子に現れ、分母には内側の関数の2乗がかかるというパターンが見えてきます。
このパターンを把握しておくと、引数がどんな形でも素早く微分を求めることができるでしょう。
arcsin(x²)とarcsin(2x)の微分の違いを意識する
arcsin(x²)とarcsin(2x)の微分の違いをしっかり押さえておきましょう。
d/dx(arcsin(2x))＝2/√(1－4x²)（内側の微分が定数2）
d/dx(arcsin(x²))＝2x/√(1－x⁴)（内側の微分が2x）
arcsin(2x)の場合は内側の微分が定数2になるのに対し、arcsin(x²)の場合は内側の微分がxを含む2xになる点が大きな違いです。
内側の関数の形によって分子の形が変わることを意識しておきましょう。
よくある間違いと注意点
arcsin(x²)の微分では、いくつかの典型的なミスが見られます。
最も多いのが、内側の微分（x²の微分＝2x）をかけ忘れて1/√(1－x⁴)と答えてしまうケースです。
合成関数の微分では内側の微分を必ずかけることを、しっかりと意識してください。
また、分母が√(1－x²)のようにu＝x²を代入する前の形のまま答えてしまうミスも多いため、最後まで丁寧に代入を行いましょう。
arcsin(x²)の微分の応用例で理解を深めよう
続いては、arcsin(x²)の微分の応用例を通じてさらに理解を深めていきます。
例題①：基本的な合成関数の微分
問題：d/dx(arcsin(x²))を求めよ。
外側の微分：1/√(1－(x²)²)＝1/√(1－x⁴)
内側の微分：d/dx(x²)＝2x
d/dx(arcsin(x²))＝1/√(1－x⁴)×2x＝2x/√(1－x⁴)
この問題は合成関数の微分の手順を丁寧に追うことで解くことができます。
外側と内側の微分を順番に求めてからかけ合わせるという手順を習慣づけましょう。
例題②：さらに複雑な合成関数の微分
問題：d/dx(arcsin(x³))を求めよ。
外側の微分：1/√(1－(x³)²)＝1/√(1－x⁶)
内側の微分：d/dx(x³)＝3x²
d/dx(arcsin(x³))＝1/√(1－x⁶)×3x²＝3x²/√(1－x⁶)
引数がx³の場合も同様の手順で解くことができます。
内側の関数の冪乗が上がるにつれて分子と分母の形が変わるパターンを確認しておきましょう。
例題③：積の微分との組み合わせ
問題：d/dx(x・arcsin(x²))を求めよ。
f＝x → f’＝1
g＝arcsin(x²) → g’＝2x/√(1－x⁴)
d/dx(x・arcsin(x²))＝1・arcsin(x²)＋x・2x/√(1－x⁴)
＝arcsin(x²)＋2x²/√(1－x⁴)
この結果はarcsin(x²)＋2x²/√(1－x⁴)となり、2つの項の和として表されます。
積の微分と合成関数の微分を組み合わせることで、より複雑な問題にも対応できるでしょう。
まとめ
この記事では、arcsin(x²)の微分の公式と証明、合成関数の微分との関係について解説しました。
arcsin(x²)の微分結果は2x/√(1－x⁴)であり、arcsinxの微分公式に合成関数の微分を組み合わせることで導くことができます。
内側の関数の微分が分子に現れ、分母には内側の関数の2乗がかかるというパターンを把握しておくと、さまざまな引数の形に対応できるでしょう。
内側の微分をかけ忘れるミスが最も多いため、合成関数の微分では「外×内の微分」という手順を必ず守るようにしましょう。
公式の意味と証明の流れをしっかり理解した上で、さまざまな問題に挑戦してみてください。
