微分の学習を進めていると、cos(x³)の微分という形に出会う場面があります。
cos(x³)はcosxの引数がx³に変わった形であり、合成関数の微分を使うことで解くことができます。
この記事では、cos(x³)の微分公式の内容とその証明方法、合成関数の微分との関係について、わかりやすく丁寧に解説していきます。
cos(x³)の微分の公式は－3x²sin(x³)
それではまず、cos(x³)の微分の公式について解説していきます。
cos(x³)を微分すると、次のような結果が得られます。
d/dx(cos(x³))＝－3x²sin(x³)
－3x²sin(x³)という形は、cosxの微分公式に合成関数の微分を組み合わせることで導き出すことができます。
分子に－3x²が現れるのは内側の関数x³を微分した結果であり、符号のマイナスはcosxを微分するとsinxにマイナスが付くことから来ています。
公式の各部分がどこから来ているかを理解しておくと、応用問題にもスムーズに対応できるでしょう。
公式の証明：合成関数の微分を使った方法
cos(x³)の微分の証明は、合成関数の微分法を使うことでシンプルに導くことができます。
cosxの微分公式：d/dx(cosx)＝－sinx
cos(x³)はcosuのu＝x³とおいた合成関数です。
合成関数の微分より、
d/dx(cos(x³))＝d/du(cosu)×d/dx(x³)
＝－sinu×3x²
u＝x³を代入すると、＝－sin(x³)×3x²＝－3x²sin(x³)
証明のポイントは、外側の微分と内側の微分をかけ合わせる合成関数の微分の手順を正確に追うことです。
u＝x³とおくことで、cosuの微分公式をそのまま活用できる形に変形できます。
合成関数の微分の手順を整理する
合成関数の微分の手順を改めて整理しておきましょう。
f(g(x))の微分は f'(g(x))×g'(x) で求められます。
cos(x³)の場合、
f(u)＝cosu → f'(u)＝－sinu
g(x)＝x³ → g'(x)＝3x²
d/dx(cos(x³))＝f'(g(x))×g'(x)＝－sin(x³)×3x²＝－3x²sin(x³)
「外側の微分×内側の微分」という手順を意識することで、合成関数の微分をスムーズに計算できます。
この手順はあらゆる合成関数の微分に共通して使える考え方です。
cosxの微分公式を正確に覚える
cos(x³)の微分を正しく求めるためには、cosxの微分公式を正確に覚えておくことが必要です。
d/dx(sinx)＝cosx
d/dx(cosx)＝－sinx（符号がマイナスになる点に注意）
d/dx(tanx)＝1/cos²x
cosxを微分すると符号がマイナスのsinxになることを、しっかりと意識してください。
sinxの微分との符号の違いを混同しやすいため、セットで覚えておくことが大切です。
cos(x³)の微分と合成関数の微分の関係を整理しよう
続いては、cos(x³)の微分と合成関数の微分の関係について確認していきます。
引数がx³に変わった場合の微分は、合成関数の微分の考え方をそのまま応用することができます。
| 関数 | 微分結果 | 内側の微分 |
|---|---|---|
| cosx | －sinx | 1 |
| cos(2x) | －2sin(2x) | 2 |
| cos(x²) | －2xsin(x²) | 2x |
| cos(x³) | －3x²sin(x³) | 3x² |
表から、内側の関数の微分が外側の微分結果にかけ算されるというパターンが見えてきます。
このパターンを把握しておくと、引数がどんな形でも素早く微分を求めることができるでしょう。
cos(x³)とsin(x³)の微分を対比で覚える
cos(x³)とsin(x³)の微分を対比させることで、記憶に定着しやすくなります。
d/dx(sin(x³))＝3x²cos(x³)（符号はプラス）
d/dx(cos(x³))＝－3x²sin(x³)（符号はマイナス）
sin(x³)の微分とcos(x³)の微分は符号と三角関数の種類が入れ替わる対称的な関係にあります。
この対称性を意識して覚えると、どちらの公式も正確に記憶できるでしょう。
よくある間違いと注意点
cos(x³)の微分では、いくつかの典型的なミスが見られます。
まず、内側の微分（x³の微分＝3x²）をかけ忘れて－sin(x³)と答えてしまうケースがあります。
合成関数の微分では内側の微分を必ずかけることを、しっかりと意識してください。
また、符号のマイナスを忘れて3x²sin(x³)と答えてしまうミスも多いため、cosxの微分に必ずマイナスが付くことを確認しましょう。
cos(x³)の微分の応用例で理解を深めよう
続いては、cos(x³)の微分の応用例を通じてさらに理解を深めていきます。
例題①：基本的な合成関数の微分
問題：d/dx(cos(x³))を求めよ。
外側の微分：－sin(x³)
内側の微分：d/dx(x³)＝3x²
d/dx(cos(x³))＝－sin(x³)×3x²＝－3x²sin(x³)
この問題は合成関数の微分の手順を丁寧に追うことで解くことができます。
外側と内側の微分を順番に求めてからかけ合わせるという手順を習慣づけましょう。
例題②：さらに複雑な合成関数の微分
問題：d/dx(cos²(x³))を求めよ。
cos²(x³)＝(cos(x³))²とおくと、さらに合成関数の微分が必要です。
最外側の微分：2cos(x³)
中間の微分：d/dx(cos(x³))＝－3x²sin(x³)
d/dx(cos²(x³))＝2cos(x³)×(－3x²sin(x³))＝－6x²sin(x³)cos(x³)
2倍角公式より ＝－3x²sin(2x³)
3重の合成関数の場合も、外側から順番に微分していくという手順は変わりません。
2倍角公式sin(2θ)＝2sinθcosθを活用すると、結果をシンプルに整理できます。
例題③：積の微分との組み合わせ
問題：d/dx(x²・cos(x³))を求めよ。
f＝x² → f’＝2x
g＝cos(x³) → g’＝－3x²sin(x³)
d/dx(x²・cos(x³))＝2x・cos(x³)＋x²・(－3x²sin(x³))
＝2xcos(x³)－3x⁴sin(x³)
この結果は2xcos(x³)－3x⁴sin(x³)となり、2つの項の差として表されます。
積の微分と合成関数の微分を組み合わせることで、より複雑な問題にも対応できるでしょう。
まとめ
この記事では、cos(x³)の微分の公式と証明、合成関数の微分との関係について解説しました。
cos(x³)の微分結果は－3x²sin(x³)であり、cosxの微分公式に合成関数の微分を組み合わせることで導くことができます。
内側の関数の微分が外側の微分結果にかけ算されるというパターンを把握しておくと、さまざまな引数の形に対応できるでしょう。
内側の微分をかけ忘れるミスと符号のマイナスを忘れるミスが最も多いため、合成関数の微分の手順を丁寧に追う習慣をつけることが大切です。
公式の意味と証明の流れをしっかり理解した上で、さまざまな問題に挑戦してみてください。
