「双曲線関数にも加法定理ってあるの？」と疑問に思う方は多いでしょう。
双曲線関数の加法定理は、三角関数の加法定理と形がよく似ており、一部の符号の違いに注意するだけで体系的に理解できます。
本記事では、双曲線関数の加法定理の公式と証明方法を、sinh・cosh・tanhの加法公式・倍角公式・半角公式・導出過程とともに丁寧に解説していきます。
双曲線関数の加法定理は三角関数と似て非なる公式（結論）
それではまず、双曲線関数の加法定理の公式と全体像について結論から解説していきます。
双曲線関数の加法定理の公式は次のとおりです。
sinh(x＋y)＝sinh x cosh y＋cosh x sinh y
sinh(x−y)＝sinh x cosh y−cosh x sinh y
cosh(x＋y)＝cosh x cosh y＋sinh x sinh y
cosh(x−y)＝cosh x cosh y−sinh x sinh y
tanh(x＋y)＝(tanh x＋tanh y)/(1＋tanh x tanh y)
tanh(x−y)＝(tanh x−tanh y)/(1−tanh x tanh y)
三角関数の加法定理では cosh(x＋y)＝cos x cos y−sin x sin y（マイナス）ですが、双曲線関数では cosh(x＋y)＝cosh x cosh y＋sinh x sinh y（プラス）となります。
この符号の違いは、cosh²x−sinh²x＝1（双曲線）とcos²x＋sin²x＝1（三角）の基本恒等式の符号差から生まれています。
sinh(x＋y)の証明
定義式を使って直接証明します。
sinh(x＋y)＝(e^(x＋y)−e^(−x−y))/2
＝(eˣeʸ−e⁻ˣe⁻ʸ)/2
ここで sinh x cosh y＋cosh x sinh y を展開すると
＝((eˣ−e⁻ˣ)/2)・((eʸ＋e⁻ʸ)/2)＋((eˣ＋e⁻ˣ)/2)・((eʸ−e⁻ʸ)/2)
＝(eˣeʸ−e⁻ˣe⁻ʸ)/2＝sinh(x＋y) ✓
cosh(x＋y)の証明
cosh x cosh y＋sinh x sinh y を展開すると
＝((eˣ＋e⁻ˣ)/2)・((eʸ＋e⁻ʸ)/2)＋((eˣ−e⁻ˣ)/2)・((eʸ−e⁻ʸ)/2)
＝(eˣeʸ＋e⁻ˣe⁻ʸ)/2＋(eˣe⁻ʸ＋e⁻ˣeʸ)/2… のように整理すると
＝(e^(x＋y)＋e^(−x−y))/2＝cosh(x＋y) ✓
倍角公式と半角公式
続いては、加法定理から導かれる倍角公式と半角公式について確認していきます。
倍角公式
加法定理でy＝xとおくことで倍角公式が導かれます。
sinh(2x)＝2 sinh x cosh x
cosh(2x)＝cosh²x＋sinh²x＝2cosh²x−1＝1＋2sinh²x
tanh(2x)＝2tanh x/(1＋tanh²x)
cosh(2x)は3通りの形で表すことができ、計算の目的に応じて使い分けることができます。
半角公式
倍角公式を変形することで半角公式が得られます。
cosh(2x)＝2cosh²x−1 より cosh²x＝(cosh(2x)＋1)/2
cosh(2x)＝1＋2sinh²x より sinh²x＝(cosh(2x)−1)/2
tanh²x＝(cosh(2x)−1)/(cosh(2x)＋1)
半角公式は積分計算において、sinh²xやcosh²xを含む式を処理する際に非常に有効です。
三角関数との加法定理の符号比較表
| 公式 | 三角関数 | 双曲線関数 |
|---|---|---|
| sin/sinh の加法 | sin x cos y＋cos x sin y | sinh x cosh y＋cosh x sinh y（同じ） |
| cos/cosh の加法 | cos x cos y−sin x sin y | cosh x cosh y＋sinh x sinh y（符号が異なる） |
| 倍角（sin/sinh） | 2 sin x cos x | 2 sinh x cosh x（同じ） |
| 倍角（cos/cosh） | cos²x−sin²x | cosh²x＋sinh²x（符号が異なる） |
双曲線関数の加法定理で最も重要な符号の違いは cosh(x＋y)＝cosh x cosh y＋sinh x sinh y（三角関数はマイナス）です。証明は定義式（eˣを使った表現）に戻ることで確実に導出できます。倍角公式・半角公式もセットで習得しておきましょう。
まとめ
本記事では、双曲線関数の加法定理の公式と証明方法を、sinh・cosh・tanhの加法公式・倍角公式・半角公式・三角関数との比較とともに解説しました。
公式の符号の違いは定義式（指数関数の和と差）から必然的に生まれるものであり、その導出過程を理解することで確実に記憶できます。
倍角公式・半角公式まであわせて習得することで、双曲線関数を含む計算に自信を持って取り組めるようになるでしょう。
