「内接円の半径ってどうやって求めるの？」という疑問は、中学・高校の数学で図形を学ぶ際によく生まれます。
三角形に内接する円の半径を求める問題は、入試や定期試験でも頻出の重要テーマです。
三角形の面積と周の長さを使う方法、正三角形・直角三角形の特殊な公式、正多角形への応用など、内接円の半径を求めるアプローチは複数あります。
この記事では、内接円の半径を求めるための公式と計算方法を、様々なパターン別に丁寧に解説していきます。
三角形の面積と周の長さを使う基本公式から、直角三角形・正三角形の特殊公式、正多角形への応用まで、具体的な数値を使った例題とともに確認していきましょう。
内接円の半径の求め方をしっかりマスターすることで、図形問題全般に自信を持って対応できるようになるでしょう。
内接円の半径とは？まず基本の定義から解説
それではまず、内接円の定義と基本的な性質について解説していきます。
内接円（ないせつえん）とは、多角形の内部にあり、すべての辺に接する円のことです。
三角形の内接円はすべての三角形に存在し、三角形の3辺すべてに接する唯一の円です。
内接円の中心は「内心（ないしん）」と呼ばれ、三角形の3つの内角の二等分線が交わる点になります。
内接円の基本性質：
・すべての辺に接する（辺と円が1点で交わる）
・中心（内心）は3辺から等距離にある
・内心から各辺への距離がすべて内接円の半径rと等しい
・内心は3つの内角の二等分線の交点
「内接円の半径＝内心から辺への垂線の長さ」という関係が、内接円の半径を求めるための公式の根拠になっています。
この性質を視覚的にイメージできると、公式の意味が自然に理解できるでしょう。
内接円と外接円の違いを整理する
内接円と外接円はよく混同されるため、明確に区別しておきましょう。
| 種類 | 定義 | 中心の名称 | 中心の位置 |
|---|---|---|---|
| 内接円 | 多角形のすべての辺に接する円 | 内心 | 3つの内角の二等分線の交点 |
| 外接円 | 多角形のすべての頂点を通る円 | 外心 | 3辺の垂直二等分線の交点 |
内接円は「辺に接する」、外接円は「頂点を通る」という違いを覚えておきましょう。
内接円の半径をr（または小文字のr）、外接円の半径をR（大文字）で表すことが多く、大文字・小文字で区別されています。
内接円の半径を求めるのに必要な情報
三角形の内接円の半径を求めるには、一般的に以下の情報が必要です。
内接円の半径rを求めるのに必要な情報：
①三角形の面積（S）と周の長さ（2s）
②三角形の3辺の長さ（a・b・c）
③直角三角形の場合：直角を挟む2辺と斜辺
④正三角形の場合：1辺の長さ
どの情報が与えられているかによって、使う公式が変わります。
問題文から「何がわかっているか」を最初に整理することが、解法選択の第一歩です。
三角形の内接円の半径を求める基本公式を解説
続いては、三角形の内接円の半径を求める基本公式を確認していきます。
最も重要かつ汎用性の高い公式が、三角形の面積と周の長さを使う方法です。
面積と周の長さを使う基本公式
内接円の半径の基本公式：
r ＝ S ÷ s
S：三角形の面積
s：三角形の周の長さの半分（半周長）＝ (a+b+c) ÷ 2
または：r ＝ 2S ÷ (a+b+c)
（a・b・cは三角形の3辺の長さ）
この公式の導き方を理解しておくと、公式を忘れても自力で再導出できます。
内心から3辺にそれぞれ垂線を引くと、三角形が3つの小三角形に分割されます。
公式の導出：
内心Iから各辺に下ろした垂線の長さはすべてr
三角形ABCの面積S ＝ △IAB + △IBC + △ICA
＝ (1/2)×c×r + (1/2)×a×r + (1/2)×b×r
＝ (1/2)×r×(a+b+c)
よって r ＝ 2S ÷ (a+b+c) ＝ S ÷ s
「面積＝内接円の半径×周の長さの半分」という関係が、この公式の核心です。
三角形をどの形・どの大きさに変えても、この関係は常に成り立ちます。
基本公式を使った具体的な計算例
例1：3辺が3・4・5の直角三角形の内接円の半径
面積S ＝ (1/2) × 3 × 4 ＝ 6
周の長さ ＝ 3+4+5 ＝ 12
r ＝ 2×6 ÷ 12 ＝ 12 ÷ 12 ＝ 1
→ 内接円の半径は1
例2：3辺が5・12・13の直角三角形の内接円の半径
面積S ＝ (1/2) × 5 × 12 ＝ 30
周の長さ ＝ 5+12+13 ＝ 30
r ＝ 2×30 ÷ 30 ＝ 2
→ 内接円の半径は2
この例のように、3辺が整数の直角三角形（ピタゴラス数）では内接円の半径も整数になることが多いという興味深い性質があります。
ヘロンの公式と組み合わせた計算
3辺の長さはわかっているが面積がわからない場合は、ヘロンの公式を使って面積を求めてから内接円の半径を計算します。
ヘロンの公式：S ＝ √(s(s-a)(s-b)(s-c))
s ＝ (a+b+c)/2（半周長）
例：3辺が6・8・10の三角形の内接円の半径
s ＝ (6+8+10)/2 ＝ 12
S ＝ √(12×6×4×2) ＝ √576 ＝ 24
r ＝ S ÷ s ＝ 24 ÷ 12 ＝ 2
ヘロンの公式と内接円の半径公式を組み合わせることで、3辺の長さだけから半径を求めることができます。
直角三角形・正三角形の内接円の半径を求める特殊公式
続いては、直角三角形と正三角形という特殊な形の内接円の半径を求める方法を確認していきます。
直角三角形の内接円の半径を求める公式
直角三角形では、直角を挟む2辺（a・b）と斜辺（c）の関係から、内接円の半径をより簡単に求める公式が導けます。
直角三角形の内接円の半径公式：
r ＝ (a + b − c) ÷ 2
（a・b：直角を挟む2辺、c：斜辺）
例：3辺が3・4・5の直角三角形
r ＝ (3 + 4 − 5) ÷ 2 ＝ 2 ÷ 2 ＝ 1
この公式は「2辺の和から斜辺を引いて2で割る」という非常にシンプルな形になっています。
基本公式から導出することもできますが、直角三角形の問題では暗記しておくと計算が大幅に速くなります。
公式の確認（3・4・5の直角三角形）：
基本公式：r ＝ 2S÷(a+b+c) ＝ 2×6÷12 ＝ 1 ✓
直角三角形公式：r ＝ (3+4-5)÷2 ＝ 2÷2 ＝ 1 ✓
どちらの公式でも同じ答えが得られることを確認
正三角形の内接円の半径を求める公式
1辺の長さがaの正三角形の内接円の半径は、正三角形の特性を使って求めることができます。
正三角形の内接円の半径公式：
r ＝ (√3/6) × a ＝ a ÷ (2√3) ＝ (√3 × a) ÷ 6
例：1辺が6cmの正三角形の内接円の半径
r ＝ (√3/6) × 6 ＝ √3 cm ≒ 1.73cm
正三角形の場合、内接円の半径は外接円の半径の半分という美しい関係があります。
外接円の半径R ＝ (√3/3) × a であり、r ＝ R/2 という関係が成り立ちます。
正多角形への内接円の応用
正多角形においても、辺の長さと辺数から内接円の半径を求めることができます。
| 正多角形 | 辺数n | 内接円の半径r（1辺の長さをaとする） |
|---|---|---|
| 正三角形 | 3 | r ＝ a/(2√3) ＝ (√3 a)/6 |
| 正四角形（正方形） | 4 | r ＝ a/2 |
| 正六角形 | 6 | r ＝ (√3 a)/2 |
| 正n角形（一般） | n | r ＝ a/(2 tan(π/n)) |
正方形の内接円の半径は一辺の半分というシンプルな関係になります。
正多角形の内接円の半径は「a ÷ (2tan(π/n))」という一般式で求めることができ、高校数学での応用問題にも対応できます。
内接円の半径を求める問題の解き方のコツ
続いては、内接円の半径を求める問題を解く際のコツと注意点を確認していきます。
問題のパターン別に公式を選ぶ方法
内接円の半径を求める問題では、与えられた情報に応じて使う公式を選ぶ必要があります。
公式選択のフローチャート：
①3辺の長さ＋三角形の種類が「直角三角形」→ r ＝ (a+b−c)÷2
②3辺の長さ＋面積がわかる→ r ＝ 2S÷(a+b+c)
③3辺の長さのみ→ ヘロンの公式でS計算→ r ＝ S÷s
④正三角形で1辺がわかる→ r ＝ (√3/6)×a
⑤正多角形で辺数と辺長がわかる→ r ＝ a÷(2tan(π/n))
問題の形状と与えられた情報を整理してから公式を選ぶという手順が、内接円の問題を確実に解くためのコツです。
内接円の半径に関する重要な性質と定理
内接円の半径に関連するいくつかの重要な性質を覚えておくと、応用問題に対応しやすくなります。
重要な性質まとめ：
・内心から各辺への垂線の長さはすべてrで等しい
・内心から各頂点への線分は、その角の二等分線上にある
・内接円の接点から頂点までの長さは、(s−対辺)で表せる（sは半周長）
例：3辺a・b・cの三角形で、辺cに面する頂点Cからの接点距離 ＝ s−c
特に「接点から頂点までの長さ ＝ s − 対辺」という性質は、内接円に関する証明問題や応用問題で頻繁に使われる重要な定理です。
計算後の検算の方法
求めた内接円の半径rが正しいかどうかを確認するには、基本公式に代入して面積が再現されるかチェックします。
検算の例（3・4・5の直角三角形、r＝1）：
S ＝ r × s ＝ 1 × (3+4+5)/2 ＝ 1 × 6 ＝ 6
実際の面積：(1/2) × 3 × 4 ＝ 6 ✓
r×sで面積が再現されれば計算は正しいという検算方法を習慣にしましょう。
まとめ
この記事では、内接円の半径を求める方法について、基本公式（r＝S÷s）・直角三角形の特殊公式（r＝(a+b−c)÷2）・正三角形の公式・正多角形への応用・ヘロンの公式との組み合わせ・解き方のコツまで幅広く解説しました。
最も汎用的な公式はr＝2S÷(a+b+c)であり、三角形の面積と3辺の長さがわかれば必ず内接円の半径が求められます。
直角三角形ではr＝(a+b−c)÷2というシンプルな公式が使えることも覚えておきましょう。
問題文から与えられた情報を整理し、適切な公式を選んで丁寧に計算する習慣を身につけることで、内接円の問題に確実に対応できるようになるでしょう。
