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1/(ax+b)の積分は、分数関数の積分の中でも特に重要な基礎テーマのひとつです。
これまで解説してきた1/(2x+1)や1/(2x-1)の積分は、すべて1/(ax+b)の一般公式の特別なケースにあたります。
この記事では、1/(ax+b)の積分の公式からやり方、置換積分を使った証明、不定積分・定積分の例題まで丁寧に解説していきます。
積分が苦手な方でもわかりやすいようステップごとに説明していますので、ぜひ最後まで読んでみてください。
1/(ax+b)の積分の公式と結論
それではまず、1/(ax+b)の積分の公式と結論を確認していきます。
1/(ax+b)の不定積分の公式は次のとおりです。
∫1/(ax+b) dx = (1/a)log|ax+b| + C
（a ≠ 0、Cは積分定数）
分母の一次式ax+bの係数aの逆数(1/a)が前に付き、logの中身はax+bの絶対値になります。
係数aの逆数を忘れることが最も多いミスであるため、この点を特に意識して覚えておきましょう。
1/(ax+b)の積分の公式は∫1/(ax+b) dx = (1/a)log|ax+b| + C（a ≠ 0）。係数aの逆数(1/a)を前に付けることが最大のポイントです。
公式の構造と覚え方
1/(ax+b)の積分公式は、次の2つのポイントで整理できます。
ひとつ目はlogの中身が分母ax+bの絶対値になること、ふたつ目は分母の係数aの逆数(1/a)が前に付くことです。
1/xの積分がlog|x|になるのと同じ構造ですが、一次式ax+bになった分だけ係数(1/a)が加わると理解しておくとよいでしょう。
この構造を意識して覚えておくと、具体的な数値を代入した問題でも迷わず答えが出せます。
a = 0の場合の注意点
a = 0の場合、1/(ax+b) = 1/bとなり定数関数になるため、この公式は適用できません。
∫1/b dx = x/b + C となるため、a = 0かどうかを必ず確認してから公式を使いましょう。
問題文でa ≠ 0という条件が明示されていない場合でも、分母に変数xが含まれているかを確認することが大切です。
公式の適用条件を意識する習慣をつけておくと、応用問題でも確実に対応できるでしょう。
これまでの公式との関係整理
これまで解説してきた分数関数の積分公式を一般公式と照らし合わせて整理しておきましょう。
積分の形 積分結果 a・bの値 ∫1/(x+1) dx log|x+1| + C a=1、b=1 ∫1/(2x+1) dx (1/2)log|2x+1| + C a=2、b=1 ∫1/(2x-1) dx (1/2)log|2x-1| + C a=2、b=-1 ∫1/(ax+b) dx (1/a)log|ax+b| + C 一般形 すべての具体的な公式が一般公式の特別なケースとして統一的に理解できます。
置換積分を使った1/(ax+b)の証明
続いては、置換積分を使った1/(ax+b)の積分公式の証明を確認していきます。
公式を丸暗記するだけでなく、導出の手順を理解しておくことで応用力が高まります。
置換積分による証明の手順
t = ax+b と置くと、dt/dx = a つまり dx = dt/a が得られます。
t = ax+b と置くと dx = dt/a
∫1/(ax+b) dx = ∫(1/t)・(dt/a)
= (1/a)∫(1/t) dt
= (1/a)log|t| + C
tを戻して → (1/a)log|ax+b| + C
このように置換積分を使うと、(1/a)log|ax+b| + Cという一般公式が導けます。
dxをdt/aに変換する部分が置換積分の核心となる手順です。
置換積分の各ステップの意味
t = ax+b という置換は、分母の一次式をシンプルな変数tに置き換えるためのものです。
dx = dt/a という変換は、積分変数の変換を正確に行うための必須ステップです。
∫(1/t) dt = log|t| + C という1/tの積分公式を適用した後、tをax+bに戻して完成です。
この証明の流れを一度自分の手で書いてみると、公式の意味が深く理解できるでしょう。
置換積分でよくあるミスと注意点
置換積分で最も多いミスは、dxをdt/aに変換し忘れることです。
変換を忘れると(1/a)の係数が付かず、答えがlog|ax+b| + Cとなってしまいます。
dx部分の変換は必ず行うという意識を持つことが、ミスを防ぐ最大のポイントです。
また最後にtをax+bに戻し忘れるケースも頻出するため、手順の最後に必ず確認しましょう。
1/(ax+b)の積分の応用と例題
続いては、1/(ax+b)の積分の応用と具体的な例題を確認していきます。
さまざまな数値でのケースを練習することで、公式の使い方が確実に身につきます。
不定積分の具体的な例題
【例題①】∫1/(3x+2) dx を求めよ。
a = 3、b = 2 を代入して、
(1/3)log|3x+2| + C
【例題②】∫1/(5x-4) dx を求めよ。
a = 5、b = -4 を代入して、
(1/5)log|5x-4| + C
一般公式にa・bの値を代入するだけで素早く答えが出せます。
係数aの逆数を前に付けるという操作を忘れないようにしましょう。
定積分の例題
【例題】∫₀¹1/(3x+1) dx を求めよ。
[(1/3)log|3x+1|]₀¹
= (1/3)log|3+1| – (1/3)log|1|
= (1/3)log4 – 0
= (1/3)log4
log1 = 0 であることに注意すれば、計算はスムーズに進みます。
答えは(1/3)log4となります。
検算と確認の方法
積分した結果が正しいかどうかは、微分して元の式に戻るかで確認できます。
【検算】d/dx[(1/a)log|ax+b| + C]
= (1/a)・1/(ax+b)・a
= 1/(ax+b) ✓
合成関数の微分によって元の1/(ax+b)に戻ることが確認できます。
計算ミスが不安なときはこの方法で必ず確かめる習慣をつけておくと安心でしょう。
まとめ
1/(ax+b)の積分の公式は∫1/(ax+b) dx = (1/a)log|ax+b| + C（a ≠ 0）です。
置換積分ではt = ax+bと置いてdx = dt/aに変換し、∫(1/t) dt = log|t|の公式を適用してtをax+bに戻す手順で導けます。
具体的な1/(2x+1)や1/(2x-1)などの公式はすべてこの一般公式の特別なケースであり、a・bの値を代入するだけで答えが出せます。
log|ax+b|の絶対値と積分定数C、そして係数(1/a)の3点を忘れずに、定積分にも積極的に応用してみてください。