「放物線と直線で囲まれた面積ってどうやって求めるの？」という疑問は、積分の応用として非常によく出てくる問いです。
放物線の面積計算には便利な公式があり、覚えておくことで計算を大幅に効率化することができます。
本記事では、放物線の面積公式と求め方を、直線との囲む面積・放物線同士の面積・積分計算の手順とともに丁寧に解説していきます。
放物線と直線の囲む面積は(1/6)|a|（β−α)³で求まる（結論）
それではまず、放物線の面積公式の結論と基本的な意味から解説していきます。
放物線 y＝ax²＋bx＋c と直線 y＝mx＋n が2点（α，yα）（β，yβ）（α＜β）で交わるとき、囲まれた面積Sは S＝(|a|/6)(β−α)³です。
この公式は「1/6公式」または「放物線と直線の面積公式」として知られており、積分計算を毎回行わずに面積を求めることができます。
1/6公式の導出
y＝ax²＋bx＋c と y＝mx＋n を引いた差を f(x)＝ax²＋(b−m)x＋(c−n)＝a(x−α)(x−β) とおく。
S＝∫[α to β] |f(x)| dx＝|a|∫[α to β] (x−α)(β−x) dx
置換 x−α＝t（0からβ−αまで）とおくと
S＝|a|∫[0 to β−α] t(β−α−t) dt＝|a|[(β−α)t²/2−t³/3]₀^(β−α)
＝|a|(β−α)³/6
1/6公式の使い方
y＝x² と y＝x＋2 で囲まれた面積を求める。
交点：x²＝x＋2 → x²−x−2＝0 → x＝−1，2
α＝−1、β＝2、a＝1
S＝(1/6)(2−(−1))³＝(1/6)×27＝9/2
放物線同士で囲まれた面積（1/6公式の応用）
2つの放物線 y＝a₁x²＋b₁x＋c₁ と y＝a₂x²＋b₂x＋c₂ で囲まれた面積も、差の二次関数（a＝a₁−a₂）として1/6公式を適用できます。
S＝(|a₁−a₂|/6)(β−α)³ となります。
定積分を使った面積計算の一般的手順
続いては、定積分を直接使った面積計算の一般的な手順について確認していきます。
面積計算の基本手順
放物線と直線（または放物線）で囲まれた面積を求める一般的な手順は次のとおりです。
まず連立方程式を解いて交点のx座標（積分区間の端点）を求めます。
次に積分区間内でどちらの関数が上側にあるかを確認します。
最後に S＝∫[α to β] {(上の関数)−(下の関数)} dx を計算します。
複数の領域に分かれる場合の注意
交点が3つ以上ある場合や、上下関係が区間内で変わる場合は、区間を分けて積分する必要があります。
各区間で「上の関数−下の関数」が常に正になるよう場合分けをし、それぞれの積分の絶対値を足し合わせます。
| パターン | 公式・方法 |
|---|---|
| 放物線＋直線（2交点） | 1/6公式：S＝(|a|/6)(β−α)³ |
| 放物線同士（2交点） | 1/6公式（係数の差を使用） |
| 複雑な形状 | 区間を分けて定積分の積み上げ |
放物線 y＝ax²＋… と直線が2点（α，）（β，）で交わるとき、囲まれた面積は S＝(|a|/6)(β−α)³ の1/6公式で求まります。交点の計算→1/6公式の適用という2ステップで面積問題が素早く解けるようになります。放物線同士の場合も係数の差を使えば同様に適用可能です。
まとめ
本記事では、放物線の面積公式（1/6公式）と求め方を、直線との面積・放物線同士の面積・定積分による一般的手順とともに解説しました。
1/6公式 S＝(|a|/6)(β−α)³ を使いこなすことで、面積問題の計算時間を大幅に短縮できます。
交点の計算と公式の適用をセットでマスターして、放物線の面積問題に自信を持って取り組んでいただければ幸いです。
