「放物線の頂点ってどうやって求めるの？」という疑問は、二次関数を学ぶ上で最も基本的かつ重要な問いのひとつです。
頂点の座標は平方完成によって求めるのが標準的な方法であり、最大値・最小値の問題にも直結する重要な概念です。
本記事では、放物線の頂点の求め方と座標計算を、平方完成・完全平方式・最大値・最小値・軌跡の問題とともに丁寧に解説していきます。
放物線の頂点は平方完成で求まる（結論）
それではまず、放物線の頂点の求め方の結論と基本手順から解説していきます。
y＝ax²＋bx＋c の頂点は、平方完成によって y＝a(x＋b/(2a))²＋c−b²/(4a) の形に変形することで頂点（−b/(2a)，c−b²/(4a)）が求まります。
頂点のx座標は x＝−b/(2a) という公式で直接求めることもできます。
平方完成の手順
y＝2x²−8x＋5 を平方完成する。
y＝2(x²−4x)＋5
＝2(x²−4x＋4−4)＋5
＝2(x−2)²−8＋5
＝2(x−2)²−3
頂点：（2，−3）
平方完成の核心は「x²の係数でくくってからx²＋bx＋（b/2)²−（b/2)²という形を作る」ことです。
頂点の公式による直接計算
y＝ax²＋bx＋c の頂点のx座標は x＝−b/(2a) で求まり、対称軸の方程式も x＝−b/(2a) となります。
y＝3x²−6x＋4 の頂点：
x座標：x＝−(−6)/(2×3)＝6/6＝1
y座標：y＝3(1)²−6(1)＋4＝1
頂点：（1，1）
頂点と最大値・最小値の関係
a＞0（下に凸）の場合、頂点のy座標が最小値となります。
a＜0（上に凸）の場合、頂点のy座標が最大値となります。
定義域に制限がある場合は頂点だけでなく端点も確認して最大値・最小値を決定します。
頂点の軌跡の問題
続いては、頂点の軌跡の問題について確認していきます。
パラメータを含む放物線の頂点の軌跡
頂点の軌跡とは、パラメータが変化するときに頂点が描く曲線を求める問題です。
y＝x²−2tx＋t²＋t（tはパラメータ）の頂点の軌跡を求める。
頂点のx座標：X＝t
頂点のy座標：Y＝t²＋t＝t(t＋1)
X＝tを代入：Y＝X(X＋1)＝X²＋X
軌跡：y＝x²＋x（放物線）
対称軸の活用
二次関数のグラフの対称軸は x＝−b/(2a) であり、この直線に関してグラフが線対称です。
対称軸を利用すると、グラフ上のある点の対称点の座標を簡単に求めることができます。
例えばx＝1が対称軸のとき、点（0，y₀）の対称点は（2，y₀）です。
| 方法 | 手順 | 適した場面 |
|---|---|---|
| 平方完成 | x²の係数でくくって変形 | 頂点・最大最小・グラフ描画 |
| 公式 x＝−b/(2a) | 直接代入 | 頂点x座標・対称軸 |
| 微分 y’＝0 | 導関数＝0を解く | 大学数学・一般関数 |
放物線の頂点は平方完成 y＝a(x−h)²＋k から（h，k）として求まります。公式 x＝−b/(2a) でx座標を直接求めることも有効です。a＞0では頂点が最小値、a＜0では最大値を与えます。軌跡の問題ではパラメータを頂点座標で表して消去する手順が基本です。
まとめ
本記事では、放物線の頂点の求め方を、平方完成・頂点の公式・最大値・最小値・軌跡の問題とともに解説しました。
平方完成は二次関数の学習における最も基本的な技法であり、頂点の把握・グラフの描画・最大最小問題のすべてに関係します。
平方完成の手順を確実に身につけて、放物線の問題全般に自信を持って取り組んでいただければ幸いです。
