単位円のtanとは？意味・値の求め方・グラフとの関係をわかりやすく解説！

三角関数の中でもtanは、sinやcosと比べてグラフや性質が大きく異なるため、理解が難しいと感じる方も多いでしょう。

「単位円でのtanの意味がわからない」「tanの値をどうやって求めるのか」という疑問を持つ方に向けて、この記事では単位円のtanの意味・値の求め方・グラフとの関係をわかりやすく解説します。

tanが定義されない角度や漸近線についても説明しますので、ぜひ参考にしてください。

単位円でのtanの意味と定義をわかりやすく解説

それではまず、単位円におけるtanの意味と定義について解説していきます。

単位円上の点P(cosθ, sinθ)において、tanθ＝sinθ/cosθ＝y座標/x座標として定義されます。

幾何学的には、単位円のx＝1上の直線と原点からPへの半直線の交点のy座標としてtanθを表現することもできます。

tanという名前は「接線（tangent）」に由来しており、この幾何学的な定義と深く結びついています。

tanが定義されない角度

tanθ＝sinθ/cosθであるため、cosθ＝0となる角度ではtanが定義されません。

cosθ＝0になるのはθ＝π/2＋nπ（nは整数）すなわち90°・270°・450°…のときです。

tanは90°・270°（およびそれに±180°を加えた角度）では定義されず、これがtanグラフに不連続点（垂直漸近線）が生じる理由です。

単位円でのtanの符号と象限の関係

tanθ＝sinθ/cosθの符号は各象限で次のように決まります。

第一象限（sin正・cos正）→tanは正、第二象限（sin正・cos負）→tanは負、第三象限（sin負・cos負）→tanは正、第四象限（sin負・cos正）→tanは負です。

単位円を使ったtanの値の求め方

続いては、単位円を使ってtanの値を求める方法を確認していきます。

代表的な角度でのtanの値

角度θ	sinθ	cosθ	tanθ＝sinθ/cosθ
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	1/√3＝√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	定義なし
120°	√3/2	−1/2	−√3
135°	√2/2	−√2/2	−1
150°	1/2	−√3/2	−1/√3

tanの値はsinとcosの値さえ覚えていれば割り算で導けるため、tanを独立して暗記するよりsinとcosから求める習慣をつけると効率的です。

参照角を使ったtanの計算方法

第三象限のみtanが正（符号変化なし）になる点は、他の象限と異なる重要な特徴として必ず覚えておきましょう。

tanのグラフと単位円の関係を解説

続いては、tanグラフと単位円の関係を確認していきます。

tanグラフの特徴

tanグラフはsinやcosと異なり、値に上限・下限がなく、また定義されない点（不連続点）が存在するのが最大の特徴です。

tanグラフの読み方と漸近線

tanグラフではθ＝π/2（90°）に近づくと値が正の無限大に発散し、θ＝−π/2（−90°）に近づくと負の無限大に発散します。

θ＝π/2＋nπの位置に垂直漸近線が存在し、グラフはこの線に限りなく近づくが交差することはありません。

各周期内でtanグラフは単調増加し、不連続点で次の周期に跳び移るという特徴的な形状を持ちます。

まとめ

この記事では、単位円のtanの意味・値の求め方・グラフとの関係について解説しました。

単位円でのtanθはsinθ/cosθ＝y座標/x座標として定義され、cosθ＝0の角度では定義されません。

tanグラフは周期πの奇関数であり、θ＝π/2＋nπに垂直漸近線を持つ独特の形状をしています。

sinとcosの値からtanを計算する習慣をつけることで、効率よく三角関数の値を求めることができるでしょう。