(x-1)/xの積分の公式ややり方は？部分分数分解を使った解き方も解説！
(x-1)/xの積分は、分数関数の積分の中でも基礎的なテーマのひとつです。
前の(x+1)/xと形が似ていますが、符号の違いによって結果が変わるため、しっかりと区別して理解しておくことが大切です。
この記事では、(x-1)/xの積分の公式と解き方を基礎から丁寧に解説し、部分分数分解を使った手順や不定積分・定積分の例題まで幅広くカバーしていきます。
ぜひ最後まで読んで、分数関数の積分への理解を深めてみてください。
(x-1)/xの積分の公式と結論
それではまず、(x-1)/xの積分の公式と答えを確認していきます。
(x-1)/xの不定積分の公式は次のとおりです。
∫(x-1)/x dx = x – log|x| + C
（Cは積分定数）
この結果は、式を変形することで導けます。
(x-1)/x = x/x – 1/x = 1 – 1/x と分けると、各項をそれぞれ積分できる形になります。
∫1 dx = x、∫(1/x) dx = log|x| となるため、合わせてx – log|x| + Cが得られます。
(x-1)/xの積分は、式を「1 – 1/x」に変形するのが最大のポイントです。(x+1)/xのときとlog|x|の符号が逆になる点に注意しましょう。
式変形で解くアプローチ
(x-1)/xのように、分子の次数が分母以上の場合は、まず割り算または式変形で整理するのが基本です。
x-1をxで割ると、商が1、余りが-1となります。
したがって(x-1)/x = 1 – 1/x という変形が成り立ちます。
この変形ができれば、あとはそれぞれを個別に積分するだけなので非常にシンプルでしょう。
(x+1)/xの積分との違い
(x+1)/xの積分がx + log|x| + Cであるのに対し、(x-1)/xの積分はx – log|x| + Cとなります。
分子の符号がプラスかマイナスかによって、log|x|の前の符号が変わるだけという点が重要です。
以下の表で両者の違いを整理しておきましょう。
| 関数 | 式変形 | 積分結果 |
|---|---|---|
| (x+1)/x | 1 + 1/x | x + log|x| + C |
| (x-1)/x | 1 – 1/x | x – log|x| + C |
パターンを表で比較しておくと、類似問題でも混乱しにくくなるでしょう。
積分定数の扱いと注意点
不定積分の最終的な答えには積分定数Cが必要です。
2つの項をそれぞれ積分した場合でも、積分定数はまとめてひとつのCとして表記するのが正しいやり方です。
答えはx – log|x| + Cとなり、log|x|の前のマイナス符号を忘れないようにしましょう。
符号のミスは最後の答えを大きく変えてしまうため、計算後に必ず見直す習慣をつけることが大切です。
部分分数分解を使った解き方
続いては、部分分数分解を使った(x-1)/xの解き方を確認していきます。
部分分数分解とは、分数式をより単純な分数の和や差に分解するテクニックです。
部分分数分解の基本手順
(x-1)/xに対して部分分数分解を行う場合、まず分子の次数を下げる必要があります。
(x-1)/x = 1 – 1/x という変形は、実質的に部分分数分解と同じ発想に基づいています。
より一般的な部分分数分解では、分母を因数分解してから各因数で分ける手順を踏みます。
今回の場合は分母がxだけなので、変形はシンプルに完了します。
部分分数分解が有効なケース
部分分数分解が特に威力を発揮するのは、分母が複数の因数の積になっているときです。
たとえば(x-1)/(x(x+2))のような形であれば、A/x + B/(x+2)という形に分解して積分します。
(x-1)/xの場合は分母がxひとつだけのため、式変形のほうが手軽ではありますが、考え方は共通です。
部分分数分解の発想をしっかり身につけておくと、より複雑な分数関数にも対応できるようになるでしょう。
計算結果の検算方法
積分した結果が正しいかどうかは、微分して元の式に戻るかを確認すればわかります。
【検算】d/dx(x – log|x| + C) = 1 – 1/x = (x-1)/x ✓
このように、微分して元に戻ることを確認するのが積分の検算の基本です。
計算ミスが不安なときはこの方法で必ず確かめる習慣をつけておくと安心でしょう。
(x-1)/xの定積分の求め方と例題
続いては、(x-1)/xの定積分の求め方を確認していきます。
定積分では積分範囲にx = 0を含まないよう注意が必要です。
定積分の基本手順
定積分∫ₐᵇ(x-1)/x dx は、不定積分[x – log|x|]ₐᵇ を計算することで求められます。
具体的には、上限bの値から下限aの値を引くだけです。
ただしx = 0を含む範囲は積分できないため、たとえば∫₁²(x-1)/x dx のように0を避けた範囲を設定します。
範囲の設定を誤ると計算自体が成立しなくなるため、問題文をよく確認することが大切です。
具体的な定積分の例題
【例題】∫₁²(x-1)/x dx を求めよ。
[x – log|x|]₁²
= (2 – log2) – (1 – log1)
= 2 – log2 – 1 + 0
= 1 – log2
log1 = 0 であることに注意すれば、計算はスムーズに進みます。
答えは1 – log2となります。
定積分でよくあるミスと注意点
定積分でよく見られるミスは、上限と下限を逆に代入してしまうことです。
必ず「上限の値 – 下限の値」の順で計算しましょう。
また、(x-1)/xの積分結果にはlog|x|の前にマイナスが付くため、符号の管理が特に重要です。
途中式を丁寧に書いて、符号ミスが起きないよう慎重に進めることをおすすめします。
まとめ
(x-1)/xの積分は、まず「1 – 1/x」と式変形することが最大のポイントです。
公式は∫(x-1)/x dx = x – log|x| + C で、log|x|の前の符号がマイナスになる点に注意しましょう。
(x+1)/xの積分と符号だけが異なるため、両者を混同しないよう整理して覚えておくことが大切です。
定積分ではx = 0を含まない積分範囲を設定し、上限・下限を正確に代入して計算してみてください。
