1/(x^2)の微分は、分数関数の微分の中でも基礎的なテーマのひとつです。
x^(-2)という冪乗の形に変形することで、冪乗の微分公式をそのまま適用できることがポイントになります。
この記事では、1/(x^2)の微分の公式からやり方、合成関数の微分との関係、商の微分を使った解法まで丁寧に解説していきます。
微分が苦手な方でもわかりやすいようステップごとに説明していますので、ぜひ最後まで読んでみてください。
1/(x^2)の微分の公式と結論
それではまず、1/(x^2)の微分の公式と結論を確認していきます。
1/(x^2)をxで微分した結果は次のとおりです。
d/dx
= -2/(x^3)
1/(x^2) = x^(-2) と変形すると、冪乗の微分公式d/dx[x^n] = nx^(n-1) にn = -2を代入して求められます。
-2・x^(-2-1) = -2x^(-3) = -2/(x^3) となるため、答えは-2/(x^3)となります。
1/(x^2)の微分は-2/(x^3)。x^(-2)の形に変形してから冪乗の微分公式を使うのが基本の手順です。係数-2と分母x^3の組み合わせをしっかり覚えておきましょう。
冪乗の微分公式の適用
冪乗の微分公式d/dx[x^n] = nx^(n-1) は、nがどんな実数でも成立します。
1/(x^2) = x^(-2) はn = -2であり、公式にそのまま代入できる形です。
-2・x^(-3) = -2/(x^3) という計算の流れを確実に押さえておきましょう。
分数の形のまま計算しようとするより、冪乗の形に変えてから公式を使うほうがスムーズでミスも少なくなります。
1/xの微分との違い
1/xの微分がd/dx[x^(-1)] = -x^(-2) = -1/(x^2)であるのに対し、1/(x^2)の微分は-2/(x^3)となります。
次数nが1つ下がるにつれて、係数と分母の次数がともに変化する点が重要です。
| 関数 | 冪乗表記 | 微分結果 |
|---|---|---|
| 1/x | x^(-1) | -1/(x^2) |
| 1/(x^2) | x^(-2) | -2/(x^3) |
| 1/(x^3) | x^(-3) | -3/(x^4) |
| 1/(x^4) | x^(-4) | -4/(x^5) |
係数がnの絶対値、分母の次数がn+1の絶対値になるという規則的なパターンが見て取れます。
この規則を覚えておくと、類似問題でもスムーズに対応できるでしょう。
符号の確認と注意点
冪乗の微分公式を負の整数に適用するとき、マイナス符号が必ず登場する点に注意が必要です。
n = -2のとき、係数はn = -2そのものであるため、答えには必ずマイナスが付きます。
符号のミスは答えを大きく変えてしまうため、計算後に必ず符号を確認する習慣をつけましょう。
検算として積分して元に戻るかを確かめることも、符号ミスの発見に有効です。
合成関数の微分を使った解き方
続いては、合成関数の微分を使った1/(x^2)の解き方を確認していきます。
合成関数の微分（チェーンルール）を使っても同じ結果が得られます。
合成関数の微分の基本公式
合成関数の微分公式は次のとおりです。
d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))・g'(x)
外側の関数をf、内側の関数をgとして、外側を微分してから内側の微分を掛けるという手順を踏みます。
1/(x^2)に対してこの公式を適用してみましょう。
合成関数の微分による計算手順
1/(x^2) = (x^2)^(-1) と捉えると、f(u) = u^(-1)、g(x) = x^2 という合成関数として見られます。
f(u) = u^(-1) → f'(u) = -u^(-2)
g(x) = x^2 → g'(x) = 2x
d/dx[(x^2)^(-1)] = f'(g(x))・g'(x)
= -(x^2)^(-2)・2x
= -x^(-4)・2x
= -2x^(-3)
= -2/(x^3)
このように合成関数の微分を使っても-2/(x^3)という同じ答えが得られます。
内側の微分g'(x) = 2xを掛け忘れないように注意しましょう。
合成関数の微分でよくあるミスと注意点
合成関数の微分で最も多いミスは、内側の関数g(x)の微分を掛け忘れることです。
今回はg'(x) = 2xであり、これを掛けることでx^(-3)の形が得られます。
掛け忘れると-(x^2)^(-2) = -x^(-4) = -1/(x^4)という誤った答えになってしまいます。
チェーンルールの手順を確実に守ることが、ミスを防ぐ最大のポイントです。
1/(x^2)の微分の応用と例題
続いては、1/(x^2)の微分の応用と具体的な例題を確認していきます。
商の微分を使った解法や高階微分への応用も合わせて押さえておきましょう。
商の微分を使った解法
1/(x^2)は商の微分公式を使って解くこともできます。
f(x) = 1、g(x) = x^2 として、
d/dx = {0・x^2 – 1・2x} / (x^2)^2
= -2x / x^4
= -2/(x^3)
どの方法を使っても答えは-2/(x^3)で一致します。
問題の形に応じて最もシンプルな方法を選ぶのが効率的でしょう。
高階微分への応用
2階微分以上を求める場合は、1階微分の結果をさらに微分します。
d/dx[-2/(x^3)] = d/dx[-2x^(-3)]
= -2・(-3)x^(-4)
= 6x^(-4)
= 6/(x^4)
冪乗の形に変えておくと高階微分もスムーズに計算できます。
n階微分の一般項はd^n/dx^n[x^(-2)] = (-1)^n・(n+1)!/x^(n+2) となります。
微分結果の検算方法
微分の結果が正しいかどうかは、積分して元の式に戻るかで確認できます。
【検算】∫-2/(x^3) dx = ∫-2x^(-3) dx
= -2・x^(-2)/(-2) + C
= x^(-2) + C
= 1/(x^2) + C ✓
このように積分して元に戻ることを確認するのが微分の検算の基本です。
計算ミスが不安なときはこの方法で必ず確かめる習慣をつけておくと安心でしょう。
まとめ
1/(x^2)の微分は-2/(x^3)であり、x^(-2)の形に変形してから冪乗の微分公式d/dx[x^n] = nx^(n-1)を使うのが基本の手順です。
合成関数の微分では(x^2)^(-1)と捉えてチェーンルールを適用し、内側の微分g'(x) = 2xを忘れずに掛けることが重要です。
1/(x^n)の微分は一般的に-n/(x^(n+1))となるパターンを覚えておくと、類似問題にも素早く対応できます。
どの解法を使っても同じ答えになることを確認しながら、自分にとって最もシンプルな方法を身につけておきましょう。
