1/(x^2)の積分は、分数関数の積分の中でも基礎的なテーマのひとつです。
x^(-2)という冪乗の形に変形することで、冪乗の積分公式をそのまま適用できることがポイントになります。
この記事では、1/(x^2)の積分の公式からやり方、部分分数分解との関係、不定積分・定積分の例題まで丁寧に解説していきます。
積分が苦手な方でもわかりやすいようステップごとに説明していますので、ぜひ最後まで読んでみてください。
1/(x^2)の積分の公式と結論
それではまず、1/(x^2)の積分の公式と結論を確認していきます。
1/(x^2)の不定積分の公式は次のとおりです。
∫1/(x^2) dx = -1/x + C
（Cは積分定数）
1/(x^2) = x^(-2) と変形すると、冪乗の積分公式∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C にn = -2を代入して求められます。
x^(-2+1)/(-2+1) = x^(-1)/(-1) = -x^(-1) = -1/x となるため、答えは-1/x + Cとなります。
1/(x^2)の積分は-1/x + C。x^(-2)の形に変形してから冪乗の積分公式を使うのが基本の手順です。1/xの積分とは異なりlog|x|ではなく-1/xになる点に注意しましょう。
冪乗の積分公式の適用
冪乗の積分公式∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C は、n ≠ -1のときに成立します。
1/(x^2) = x^(-2) はn = -2であり、n ≠ -1の条件を満たすため公式がそのまま使えます。
n = -1のとき、つまり1/xの積分だけが例外的にlog|x| + Cとなる点を覚えておきましょう。
それ以外のn（n = -2、-3、-4・・・）はすべて冪乗の積分公式が適用できます。
1/xの積分との違い
1/xの積分がlog|x| + Cになるのに対し、1/(x^2)の積分は-1/x + Cとなります。
この違いは冪乗の積分公式においてn = -1のときだけ公式が使えないことに起因しています。
| 関数 | 冪乗表記 | 積分結果 |
|---|---|---|
| 1/x | x^(-1) | log|x| + C（例外） |
| 1/(x^2) | x^(-2) | -1/x + C |
| 1/(x^3) | x^(-3) | -1/(2x^2) + C |
| 1/(x^4) | x^(-4) | -1/(3x^3) + C |
n = -1のときだけ特別扱いで、それ以外はすべて冪乗の公式で対応できる点を整理しておきましょう。
積分定数の扱いと注意点
不定積分の最終的な答えには積分定数Cが必要です。
冪乗の公式を適用した後にCを付け忘れるケースが多いため、Cの書き忘れは減点対象になることを意識しておきましょう。
また-1/x + Cのマイナス符号を忘れるケースも頻出するため、符号の確認を必ず行いましょう。
答えを書いたら必ず微分して元に戻るかを検算する習慣をつけることが大切です。
部分分数分解との関係
続いては、1/(x^2)の積分と部分分数分解との関係を確認していきます。
1/(x^2)単体では部分分数分解は不要ですが、より複雑な分数式に含まれる場合に関係してきます。
部分分数分解が必要なケース
1/(x^2)はそれ自体がすでにシンプルな形ですが、たとえば1/(x^2(x+1))のような形では部分分数分解が必要です。
1/(x^2(x+1)) = A/x + B/(x^2) + C/(x+1) と分解して積分します。
このとき分解された各項のひとつとしてB/(x^2)の形が登場することがあります。
B/(x^2)の積分は-B/x + Cとなるため、1/(x^2)の積分公式がそのまま活用できます。
分母にx^2を含む部分分数分解の手順
【例題】∫1/(x^2(x+1)) dx を求めよ。
1/(x^2(x+1)) = A/x + B/(x^2) + C/(x+1) と置く。
両辺にx^2(x+1)を掛けると、
1 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2
x = 0を代入 → B = 1
x = -1を代入 → C = 1
x^2の係数比較 → A + C = 0 → A = -1
よって∫[-1/x + 1/(x^2) + 1/(x+1)] dx
= -log|x| – 1/x + log|x+1| + C
このように1/(x^2)の積分公式が部分分数分解の一部として活用されることがわかります。
x^2を含む分数積分のポイント
分母にx^2が含まれる場合、部分分数分解ではA/xとB/(x^2)の両方の項が必要になります。
分母に同じ因数の冪乗が含まれるときは、1乗から冪乗の次数まですべての項を立てるのが正しい手順です。
この点を忘れると係数が正しく求められないため、注意が必要でしょう。
部分分数分解の手順を確実に身につけておくことで、複雑な分数積分にも対応できるようになります。
1/(x^2)の積分の応用と例題
続いては、1/(x^2)の積分の応用と具体的な例題を確認していきます。
定積分への応用や検算の方法も合わせて押さえておきましょう。
定積分の例題
【例題】∫₁²1/(x^2) dx を求めよ。
[-1/x]₁²
= (-1/2) – (-1/1)
= -1/2 + 1
= 1/2
マイナス符号の処理に注意しながら計算すれば、スムーズに進みます。
答えは1/2となります。
定積分の範囲設定の注意点
1/(x^2)はx = 0で定義されないため、積分範囲にx = 0を含む場合は注意が必要です。
たとえば∫₋₁¹1/(x^2) dx はx = 0を含むため、通常の定積分としては計算できません。
広義積分として扱う場合は別途検討が必要になりますが、基本的にはx = 0を避けた範囲で積分します。
問題文の積分範囲を必ず確認してから計算に取り掛かることが大切です。
検算と確認の方法
積分した結果が正しいかどうかは、微分して元の式に戻るかで確認できます。
【検算】d/dx[-1/x + C]
= d/dx[-x^(-1)]
= x^(-2)
= 1/(x^2) ✓
微分によって元の1/(x^2)に戻ることが確認できます。
計算ミスが不安なときはこの方法で必ず確かめる習慣をつけておくと安心でしょう。
まとめ
1/(x^2)の積分は-1/x + C であり、x^(-2)の形に変形してから冪乗の積分公式を使うのが基本の手順です。
n = -1のとき（1/xの積分）だけが例外的にlog|x| + Cとなり、それ以外のn（-2、-3・・・）はすべて冪乗の公式が適用できます。
部分分数分解では分母にx^2が含まれる場合にB/(x^2)の項が登場し、1/(x^2)の積分公式が活用されます。
マイナス符号と積分定数Cを忘れずに記載し、定積分ではx = 0を含まない積分範囲の設定を確認してみてください。
