積分の学習を進めていると、1/x²の積分という形に出会うことがあります。
この形はx⁻²と同じ意味であるため、冪乗の積分公式をそのまま活用することができます。
この記事では、1/x²の積分公式とその導き方、x⁻²の積分との関係、具体的なやり方まで丁寧に解説していきます。
1/x²の積分の公式は－1/x＋C
それではまず、1/x²の積分の公式について解説していきます。
∫(1/x²)dx＝－1/x＋C（Cは積分定数）
1/x²はx⁻²と同じ形であるため、冪乗の積分公式∫xⁿdx＝xⁿ⁺¹/(n＋1)＋Cをそのまま適用することができます。
n＝－2を代入すると、x⁻²⁺¹/(－2＋1)＝x⁻¹/(－1)＝－1/xという結果が得られます。
公式の形はシンプルですが、符号がマイナスになる点を忘れやすいため注意が必要です。
公式の証明：冪乗の積分公式を使った方法
1/x²の積分の証明は、冪乗の積分公式に代入することで導くことができます。
1/x²＝x⁻²とおいて、冪乗の積分公式∫xⁿdx＝xⁿ⁺¹/(n＋1)＋C（n≠－1）を適用します。
n＝－2を代入すると、
∫x⁻²dx＝x⁻²⁺¹/(－2＋1)＋C＝x⁻¹/(－1)＋C＝－x⁻¹＋C＝－1/x＋C
冪乗の積分公式はn≠－1のときに成り立つため、n＝－2はこの公式が適用できる範囲に含まれます。
n＝－1のとき、つまり1/xの積分はlog|x|＋Cとなる特別な場合であることも合わせて覚えておきましょう。
微分を逆算して確認する方法
積分の結果が正しいかどうかは、微分を逆算することで確認できます。
積分結果－1/x＋Cを微分すると、
d/dx(－1/x)＝d/dx(－x⁻¹)＝－(－1)・x⁻²＝x⁻²＝1/x²
もとの被積分関数1/x²に戻ることが確認できます。
このように微分して元に戻るかを確認する習慣をつけると、計算ミスを防ぐことができます。
積分の検算として非常に有効な方法です。
積分定数Cと定義域の注意点
1/x²の積分では、積分定数Cを忘れずに付けることが必要です。
また、1/x²はx＝0で定義されないため、積分の定義域はx＞0またはx＜0のどちらかの範囲に限られます。
定積分を求める際は、積分区間にx＝0が含まれないことを必ず確認するようにしましょう。
1/x²の積分とx⁻²の積分の関係を整理しよう
続いては、1/x²の積分とx⁻²の積分の関係について確認していきます。
この2つは表記が異なるだけで、まったく同じ関数です。
| 表記 | 同値な形 | 積分結果 |
|---|---|---|
| 1/x² | x⁻² | －1/x＋C |
| x⁻² | 1/x² | －1/x＋C |
| 1/x | x⁻¹ | log|x|＋C |
表から、1/x²とx⁻²はまったく同じ積分結果になることがわかります。
また、1/xの積分がlog|x|＋Cという特別な形になる点と対比させて覚えておくと便利でしょう。
冪乗の積分公式で解ける範囲を理解する
冪乗の積分公式∫xⁿdx＝xⁿ⁺¹/(n＋1)＋Cは、n＝－1以外のすべての実数nで成り立ちます。
n＝2のとき：∫x²dx＝x³/3＋C
n＝－2のとき：∫x⁻²dx＝x⁻¹/(－1)＋C＝－1/x＋C
n＝－3のとき：∫x⁻³dx＝x⁻²/(－2)＋C＝－1/(2x²)＋C
n＝－1のとき：∫x⁻¹dx＝log|x|＋C（特別な場合）
n＝－1のときだけ公式が使えず対数関数になる点が、冪乗の積分で最も重要な例外です。
この例外をしっかりと押さえておくことで、積分の問題全般に対応しやすくなるでしょう。
負の冪乗の積分をスムーズに解くコツ
1/x²のような負の冪乗の積分を解く際は、まず分数の形を冪乗の形に書き直すことがポイントです。
1/xⁿ＝x⁻ⁿと変換してから冪乗の積分公式を適用すると、計算がスムーズに進みます。
この変換を習慣づけることで、複雑な分数の形の積分にも迷わず対応できるようになるでしょう。
1/x²の積分の例題で理解を深めよう
続いては、実際の例題を通じて1/x²の積分の解き方を確認していきます。
例題①：基本的な不定積分
問題：∫(1/x²)dx を求めよ。
解答：1/x²＝x⁻²と変形して、冪乗の積分公式を適用します。
∫x⁻²dx＝x⁻¹/(－1)＋C＝－1/x＋C
この問題は分数を冪乗の形に変換してから公式を適用するだけで解くことができます。
答えの符号がマイナスになることと、積分定数Cを忘れないようにしましょう。
例題②：係数を含む場合の積分
問題：∫(3/x²)dx を求めよ。
定数倍は積分の外に出せるため、
∫(3/x²)dx＝3∫x⁻²dx＝3・(－1/x)＋C＝－3/x＋C
係数をそのまま外に出して計算を進めると、シンプルに解くことができます。
積分の線形性を積極的に活用しましょう。
例題③：定積分への応用
問題：∫[1→2](1/x²)dx を求めよ。
∫(1/x²)dx＝－1/xより、
[－1/x]のx＝1からx＝2までを計算します。
(－1/2)－(－1/1)＝－1/2＋1＝1/2
定積分では不定積分の結果に上端と下端の値を代入して差を求めます。
積分区間が1から2であるためx＝0を含まず、定積分が正しく計算できることを確認できます。
まとめ
この記事では、1/x²の積分公式とその導き方、x⁻²の積分との関係、例題について解説しました。
公式は∫(1/x²)dx＝－1/x＋Cであり、1/x²＝x⁻²と変形してから冪乗の積分公式を適用することで導くことができます。
1/x²の積分とx⁻²の積分はまったく同じ結果であり、表記が異なるだけです。
n＝－1のときだけ公式が使えず対数関数になるという例外を押さえた上で、冪乗の積分公式を幅広く活用していきましょう。
公式の意味と導き方をしっかり理解した上で、さまざまな問題に取り組んでみてください。
