1/(x+2)の積分は、分数関数の積分の中でも基礎的なテーマのひとつです。
1/(x+1)の積分と形が似ていますが、定数部分が2に変わっても解き方のパターンは同じであることを確認しておくことが大切です。
この記事では、1/(x+2)の積分の公式からやり方、部分分数分解との関係、不定積分・定積分の例題まで丁寧に解説していきます。
積分が苦手な方でもわかりやすいようステップごとに説明していますので、ぜひ最後まで読んでみてください。
1/(x+2)の積分の公式と結論
それではまず、1/(x+2)の積分の公式と結論を確認していきます。
1/(x+2)の不定積分の公式は次のとおりです。
∫1/(x+2) dx = log|x+2| + C
（Cは積分定数）
これは1/(ax+b)の一般公式∫1/(ax+b) dx = (1/a)log|ax+b| + C にa = 1、b = 2を代入したものです。
a = 1のときは係数(1/a) = 1となるため、係数なしでそのままlog|x+2| + Cとなります。
1/(x+2)の積分はlog|x+2| + C。a = 1のケースでは係数が付かないため、logの中身がx+2の絶対値になるだけです。1/(x+1)の積分と同じ構造で、定数部分だけが異なります。
公式の成り立ちと考え方
1/(x+2)の積分は、1/xの積分∫(1/x) dx = log|x| + C においてxをx+2に置き換えた形です。
x+2をひとつの変数として捉えると、∫1/(x+2) dx = log|x+2| + Cという公式が自然に導けます。
置換積分ではt = x+2と置くと dt/dx = 1、つまりdx = dtとなり、係数の変換が発生しないためシンプルに求められます。
まずこの基本パターンをしっかり押さえた上で、係数が付くケースへと発展させていくのが理想的です。
1/(x+1)との違いの整理
1/(x+1)と1/(x+2)の積分を並べて比較しておきましょう。
| 積分の形 | 積分結果 |
|---|---|
| ∫1/x dx | log|x| + C |
| ∫1/(x+1) dx | log|x+1| + C |
| ∫1/(x+2) dx | log|x+2| + C |
| ∫1/(x+a) dx | log|x+a| + C |
定数部分aが変わっても、logの中身がそのままx+aになるだけというパターンが見て取れます。
このシンプルな構造を押さえておくと、類似問題でもスムーズに対応できるでしょう。
絶対値の意味と注意点
答えにlog|x+2|と絶対値が付く理由は、x+2が負の値を取る場合があるためです。
logは正の数にしか定義されていないため、log|x+2|と絶対値を付けて表現するのが正確です。
x+2 > 0のとき、すなわちx > -2のときは絶対値なしでlog(x+2)と書いても問題ありません。
しかし一般的な不定積分の答えとしては、絶対値を付けた形で記載するのが安全でしょう。
部分分数分解との関係
続いては、1/(x+2)の積分と部分分数分解との関係を確認していきます。
部分分数分解は、より複雑な分数関数の積分を解く際に非常に重要なテクニックです。
部分分数分解の基本的な考え方
部分分数分解とは、複雑な分数式をより単純な分数の和に分解するテクニックです。
たとえば1/((x+1)(x+2))のような形は、A/(x+1) + B/(x+2)という形に分解して積分します。
1/(x+2)はすでに最もシンプルな形であるため、部分分数分解の結果として現れることが多い関数です。
部分分数分解の最終結果に1/(x+2)が含まれたとき、その積分はlog|x+2| + Cとなります。
部分分数分解を使った例題
【例題】∫1/((x+1)(x+2)) dx を求めよ。
1/((x+1)(x+2)) = A/(x+1) + B/(x+2) と置く。
両辺に(x+1)(x+2)を掛けると、
1 = A(x+2) + B(x+1)
x = -1を代入 → A = 1
x = -2を代入 → B = -1
よって∫
dx
= log|x+1| – log|x+2| + C
このように、部分分数分解の結果として1/(x+2)の積分が自然に登場することがわかります。
部分分数分解と1/(x+2)の積分公式をセットで覚えておくと、多くの問題に対応できます。
置換積分による導出
t = x+2 と置くと、dt/dx = 1 つまり dx = dt が得られます。
t = x+2 と置くと dx = dt
∫1/(x+2) dx = ∫(1/t) dt
= log|t| + C
tを戻して → log|x+2| + C
a = 1のときはdx = dtとなり、係数の変換が発生しないためシンプルに求められます。
この導出を一度確認しておくと、公式の意味がより深く理解できるでしょう。
1/(x+2)の積分の応用と例題
続いては、1/(x+2)の積分の応用と具体的な例題を確認していきます。
定積分への応用や検算の方法も合わせて押さえておきましょう。
定積分の例題
【例題】∫₀²1/(x+2) dx を求めよ。
[log|x+2|]₀²
= log|2+2| – log|0+2|
= log4 – log2
= log(4/2)
= log2
logの引き算はlog(a/b)にまとめられることを活用すると、計算がスムーズに進みます。
答えはlog2となります。
定積分の範囲設定の注意点
1/(x+2)はx = -2で定義されないため、積分範囲にx = -2を含む場合は注意が必要です。
たとえば∫₋₃⁰1/(x+2) dx はx = -2を含むため、通常の定積分としては計算できません。
広義積分として扱う場合は別途検討が必要になりますが、基本的にはx = -2を避けた範囲で積分します。
問題文の積分範囲を必ず確認してから計算に取り掛かることが大切です。
検算と確認の方法
積分した結果が正しいかどうかは、微分して元の式に戻るかで確認できます。
【検算】d/dx[log|x+2| + C]
= 1/(x+2)・1
= 1/(x+2) ✓
合成関数の微分によって元の1/(x+2)に戻ることが確認できます。
計算ミスが不安なときはこの方法で必ず確かめる習慣をつけておくと安心でしょう。
まとめ
1/(x+2)の積分はlog|x+2| + C であり、1/(ax+b)の一般公式においてa = 1、b = 2としたシンプルなケースです。
部分分数分解の最終結果として1/(x+2)が現れることが多く、log|x+2| + Cという積分公式をセットで覚えておくことが大切です。
置換積分ではt = x+2と置くだけで係数の変換なしにシンプルに導けます。
log|x+2|の絶対値と積分定数C、そして定積分ではx = -2を含まない積分範囲の設定を忘れずに確認してみてください。
