慣性モーメントの求め方は、大学物理・工学系の学習において特に重要なテーマのひとつです。
積分計算を使った導出・質量要素と回転軸からの距離の関係・様々な形状に対する計算方法など、慣性モーメントの求め方を体系的に理解することが物理学の習得に直結します。
「積分をどのように使うのか」「どの方向に積分するのか」「具体的な形状でどう計算するのか」という疑問に答えるため、本記事では慣性モーメントの求め方を段階的にわかりやすく解説してまいります。
慣性モーメントの求め方の基本：定義式と積分計算の基礎
それではまず、慣性モーメントの求め方の基本となる定義式と積分計算の基礎について解説していきます。
慣性モーメントの基本的な求め方は「I = ∫ r² dm」という積分式に従って、物体の全質量に対してr²（回転軸からの距離の2乗）を積分することです。
積分による慣性モーメントの求め方の手順
【慣性モーメントを積分で求める手順】
ステップ1：回転軸を設定する（どの軸のまわりを回転するか）
ステップ2：物体の微小質量要素 dm を設定する（線密度・面密度・体積密度を使う）
ステップ3：各 dm から回転軸までの距離 r を、座標を使って表す
ステップ4：I = ∫ r² dm の積分を実行する
ステップ5：積分範囲を物体全体に設定して計算を完了する
この手順を踏まえたうえで、具体的な形状での計算例を確認することが理解の近道です。
密度を使った質量要素dmの表し方
| 次元 | 密度の種類 | 記号 | dmの表し方 |
|---|---|---|---|
| 1次元（棒） | 線密度 | λ（kg/m） | dm = λ dx |
| 2次元（板） | 面密度 | σ（kg/m²） | dm = σ dA |
| 3次元（立体） | 体積密度（密度） | ρ（kg/m³） | dm = ρ dV |
物体の次元に応じた密度の種類と質量要素の表し方を正しく選択することが、積分計算の正確さを保つための重要なステップです。
回転軸からの距離rの設定方法
慣性モーメントの積分で最も重要な要素が、回転軸からの距離rの正確な表現です。
1次元の棒（軸が棒の中心を垂直に貫く場合）では r=x（軸からの位置）となります。
2次元の円盤（軸が円盤の中心を垂直に貫く場合）では r（極座標の動径）を使います。
rを座標系で正確に表現できれば、積分計算は数学的な計算のみとなるため、この段階での正確さが慣性モーメント計算の成否を左右するといえるでしょう。
具体的な形状での慣性モーメントの計算例
続いては、代表的な形状での慣性モーメントの具体的な計算例を確認していきます。
計算例①：細い棒の慣性モーメント（中心軸）
【細い棒（質量M・長さL）の中心を通る垂直軸まわりの慣性モーメント】
線密度：λ = M/L（一様な場合）
dm = λ dx = (M/L)dx
軸からの距離：r = x（中心を原点として -L/2 ≤ x ≤ L/2）
I = ∫ x² dm = ∫₋L/2^(L/2) x² (M/L) dx
= (M/L) [x³/3]₋L/2^(L/2)
= (M/L) × (L³/24 + L³/24)
= (M/L) × L³/12
= ML²/12
細い棒の中心を通る垂直軸まわりの慣性モーメントは ML²/12 となることが積分によって確認できます。
計算例②：円盤の慣性モーメント（中心軸）
【円盤（質量M・半径R）の中心を通る垂直軸まわりの慣性モーメント】
面密度：σ = M/(πR²)
微小リング（半径r・幅dr）の面積：dA = 2πr dr
dm = σ × 2πr dr = (M/πR²) × 2πr dr = (2M/R²) r dr
I = ∫₀^R r² dm = ∫₀^R r² × (2M/R²) r dr
= (2M/R²) ∫₀^R r³ dr
= (2M/R²) × [r⁴/4]₀^R
= (2M/R²) × R⁴/4
= MR²/2
円盤の中心軸まわりの慣性モーメントは MR²/2 であることが積分によって導かれます。
計算例③：球の慣性モーメント（直径軸）
【均一な球（質量M・半径R）の直径軸まわりの慣性モーメント】
球をz軸方向に積み重なる薄い円盤として扱う：
高さzにある薄い円盤の半径：r(z) = √(R²-z²)
各円盤の慣性モーメント：dI = (1/2) r² dm
dm = ρ π r² dz（ρは密度・ρ=3M/(4πR³)）
積分すると：I = 2MR²/5
球の慣性モーメント 2MR²/5 は、回転体の中で最もよく使われる値のひとつであり、固体力学・天体物理学など幅広い分野で登場する重要な結果です。
平行軸の定理と垂直軸の定理の活用
続いては、慣性モーメントの計算を簡略化するための平行軸の定理と垂直軸の定理を確認していきます。
これらの定理を活用することで、毎回積分を行う手間を大幅に省くことができます。
平行軸の定理（シュタイナーの定理）
【平行軸の定理】
I = I_G + Md²
I_G：重心を通る軸まわりの慣性モーメント
M：物体の全質量
d：重心軸と新しい軸との距離
意味：重心軸から距離dだけ離れた平行な軸まわりの慣性モーメントは、重心まわりの慣性モーメントにMd²を加えた値になる
平行軸の定理を使うことで、重心まわりの慣性モーメントさえわかれば、任意の平行軸まわりの慣性モーメントを積分なしに求めることができます。
平行軸の定理の計算例
【例】細い棒（質量M・長さL）の端を通る垂直軸まわりの慣性モーメントを求める
重心まわりの慣性モーメント：I_G = ML²/12（中心軸）
重心から端までの距離：d = L/2
平行軸の定理より：I = I_G + Md² = ML²/12 + M(L/2)²
= ML²/12 + ML²/4 = ML²/12 + 3ML²/12 = 4ML²/12 = ML²/3
【答え】端の軸まわりの慣性モーメント = ML²/3
垂直軸の定理
【垂直軸の定理（薄い平板に適用）】
Iz = Ix + Iy
薄い平板がxy平面にある場合、z軸（平板に垂直な軸）まわりの慣性モーメントは
x軸まわりとy軸まわりの慣性モーメントの和に等しい
例：円盤のy軸まわりとx軸まわりの慣性モーメントはどちらも MR²/4
垂直軸の定理：Iz = Ix + Iy = MR²/4 + MR²/4 = MR²/2（確認できる）
垂直軸の定理は薄い平板に限定されるため、立体的な物体には適用できない点に注意が必要です。
まとめ
本記事では、慣性モーメントの求め方として積分計算の基本手順・代表的な形状の計算例（棒・円盤・球）・平行軸の定理・垂直軸の定理まで幅広く解説してまいりました。
慣性モーメントの基本的な求め方は「I = ∫ r² dm」という積分式に従い、回転軸からの距離rを座標で表して積分することで導出されます。
平行軸の定理（I = I_G + Md²）を活用することで、重心まわりの慣性モーメントから任意の平行軸まわりの慣性モーメントを積分なしに計算できます。
代表的な形状（棒：ML²/12、円盤：MR²/2、球：2MR²/5）を覚えたうえで、平行軸の定理を組み合わせることで多くの実用的な慣性モーメント計算に対応できるでしょう。
慣性モーメントの求め方を習得することで、回転力学・機械工学・宇宙工学への理解が格段に深まります。
