ダルシー・ワイスバッハの式の導出方法は？計算例や単位も！（次元解析：ムーディ線図：層流・乱流：配管設計など）

ダルシー・ワイスバッハの式の導出方法は？計算例や単位も！（次元解析：ムーディ線図：層流・乱流：配管設計など）

配管内を流れる水、油、空気などは、管の内壁との摩擦によって少しずつエネルギーを失います。

その損失を圧力や揚程として見積もる代表的な方法が、ダルシー・ワイスバッハの式です。

ポンプの必要揚程、配管径の選定、流量低下の原因調査など、配管設計では避けて通れない基本式といえるでしょう。

一方で、摩擦係数の扱い、層流と乱流の違い、単位の整合性に戸惑うことも少なくありません。

この記事では式の導出の考え方から、次元解析、ムーディ線図の読み方、具体的な計算例までを順番に整理します。

ダルシー・ワイスバッハの式の意味

それではまずダルシー・ワイスバッハの式について解説していきます。

式が表す摩擦損失

ダルシー・ワイスバッハの式は、直管内を流体が流れる際に生じる管摩擦によるエネルギー損失を計算する式です。

揚程損失で表す場合は、h_f ＝ λ（L／D）［v²／（2g）］となります。

h_fは摩擦損失水頭、λは管摩擦係数、Lは管長、Dは管内径、vは平均流速、gは重力加速度です。

圧力損失で扱う場合は、Δp ＝ λ（L／D）［ρv²／2］という形になります。

ρは流体密度を表し、揚程損失に密度と重力加速度を掛けると圧力損失へ換算できます。

流速が2倍になれば、ほかの条件が同じでも損失はおおむね4倍になります。

この二乗の関係こそ、流量を少し増やしただけで圧力不足が起きやすい理由です。

ダルシー摩擦係数とファニング摩擦係数

実務では摩擦係数の記号に注意が必要です。

ダルシー・ワイスバッハの式に入れるλは、一般にダルシー摩擦係数と呼ばれます。

化学工学の資料などではファニング摩擦係数fが使われることがあり、両者には λ ＝ 4f の関係があります。

同じ摩擦係数という言葉でも、定義が4倍違えば計算結果も大きくずれてしまいます。

式の形だけを覚えるのではなく、資料がどちらの定義を採用しているか確認する習慣が重要です。

名称	代表記号	関係	主な使用場面
ダルシー摩擦係数	λ	λ ＝ 4f	配管設計、機械工学、土木分野
ファニング摩擦係数	f	f ＝ λ／4	化学工学、熱交換器計算

配管設計で必要になる場面

ダルシー・ワイスバッハの式は、単に損失を求めるためだけの計算式ではありません。

ポンプ選定では、必要流量を送るために必要な全揚程を算出する基礎になります。

また、既設設備で流量が出ない場合には、配管が細すぎないか、配管延長が長すぎないかを検討する材料になります。

送水管、冷却水配管、空調ダクトの流体計算、油圧配管、薬液配管など、対象となる設備は多岐にわたります。

ただし、バルブ、エルボ、ストレーナーのような継手類で生じる局部損失は、直管摩擦損失とは別に見込む必要があります。

導出方法と力のつり合い

続いてはダルシー・ワイスバッハの式の導出方法を確認していきます。

円管内の微小要素

導出の出発点は、内径D、長さLの水平な円管の中にある流体部分を取り出すことです。

管の入口側圧力をp₁、出口側圧力をp₂とすると、圧力差による押す力は（p₁－p₂）Aです。

ここで断面積Aは πD²／4 になります。

定常流で流速が一定とみなせるなら、圧力による力は、管壁が流体に及ぼすせん断抵抗とつり合います。

管壁に働く平均せん断応力をτ_wとすると、管壁の接触面積はπDLです。

よって抵抗力はτ_wπDLで表せます。

両者を等しいと置けば、圧力差と壁面せん断応力のつながりが見えてきます。

壁面せん断応力から圧力損失への変換

力のつり合いは、（p₁－p₂）πD²／4 ＝ τ_wπDLです。

πとDを整理すると、圧力損失Δpは 4τ_wL／D となります。

この式は、配管が長いほど、また管径が小さいほど損失が増えることを端的に示しています。

さらに、摩擦係数を λ ＝ 8τ_{w>／（ρv²）と定義すると、壁面せん断応力を流速と密度で表現できます。}

これを圧力損失の式へ代入すると、ダルシー・ワイスバッハの式が得られます。

ここでの摩擦係数は、壁面の粗さや流れの状態をまとめて反映する無次元量です。

複雑な流れの影響をλに集約することで、設計計算に使いやすい形になっています。

エネルギー式との関係

配管計算では、ベルヌーイの定理と組み合わせて考える機会が多いでしょう。

理想流体なら位置エネルギー、圧力エネルギー、速度エネルギーの合計は保存されます。

しかし実際の粘性流体では、摩擦によって機械的エネルギーの一部が熱へ変わります。

この失われたエネルギーを水頭の形で表したものが摩擦損失水頭h_fです。

配管の始点と終点のエネルギー式にh_fを加えると、現実の流れに近い圧力やポンプ揚程を計算できます。

次元解析と単位の確認

続いては次元解析と単位の確認をしていきます。

各記号の単位

計算ミスを防ぐには、式に代入する前に単位を統一することが欠かせません。

国際単位系では、管長Lと管内径Dはm、流速vはm／s、密度ρはkg／m³で扱います。

重力加速度gは9.80665m／s²としてよく、概算では9.8m／s²でも差し支えない場合があります。

摩擦係数λとレイノルズ数Reは、どちらも単位を持たない無次元数です。

記号	意味	SI単位
hf	摩擦損失水頭	m
Δp	圧力損失	Pa
λ	ダルシー摩擦係数	無次元
L	管長	m
D	管内径	m
v	平均流速	m／s
ρ	密度	kg／m3
μ	粘度	Pa・s

揚程損失の次元

揚程損失の式では、λとL／Dは無次元です。

そのため、単位を決めるのはv²／（2g）だけになります。

v²の単位はm²／s²であり、gの単位m／s²で割るとmになります。

したがってh_fは長さの単位を持ち、水柱の高さとして解釈できます。

10mの損失水頭は、密度1000kg／m³の水なら約98kPaの圧力損失に相当します。

圧力損失の式では、ρv²の単位がkg／（m・s²）となります。

これはPaと同じ次元であり、式全体も圧力の単位として整合します。

次元解析は答えの桁を保証するものではありませんが、単位の取り違えを早期に見つける強力な確認手段です。

実務で起こりやすい単位換算

配管図では管径がmm、流量がL／minやm³／hで与えられることがよくあります。

そのまま式へ入れると、結果が何桁も違う値になるため注意が必要です。

たとえば内径50mmは0.050m、流量6m³／hは0.001667m³／sへ換算します。

圧力の単位も、Pa、kPa、MPa、bar、kgf／cm²が混在しやすい項目です。

特にポンプ仕様と現場の圧力計を比較するときは、揚程mと圧力kPaの換算基準をそろえましょう。

層流と乱流による摩擦係数

続いては層流と乱流による摩擦係数を確認していきます。

レイノルズ数による流れの判定

摩擦係数を決める前に、流れが層流か乱流かを判定します。

その指標がレイノルズ数Reで、Re ＝ ρvD／μ と表されます。

νを動粘度とする場合は、Re ＝ vD／νでも計算できます。

一般的な円管流では、Reが約2300未満なら層流、約4000を超えると乱流として扱うのが基本です。

2300から4000付近は遷移域であり、振動や入口条件によって流れの状態が変わることがあります。

流れの区分	レイノルズ数の目安	特徴
層流	2300未満	流れが比較的整い、粘性の影響が大きい
遷移域	2300以上4000以下	状態が不安定で、単純な推定が難しい
乱流	4000超	混合が強く、粗さの影響も受けやすい

層流におけるハーゲン・ポアズイユの関係

十分に発達した円管内の層流では、ダルシー摩擦係数は λ ＝ 64／Re で求められます。

この関係は流体の粘性に強く支配されることを示しています。

層流では管内壁の粗さの影響が比較的小さく、レイノルズ数が分かれば摩擦係数を計算できます。

低速で流れる粘性の高い油、細い管を流れる液体、医療や精密装置の流路などでは、この扱いが役立ちます。

ただし、入口付近の助走区間や非ニュートン流体では、単純な式をそのまま使えない場合があります。

乱流における粗さの影響

乱流では、流速だけでなく管内面の粗さが摩擦係数を左右します。

新しい樹脂管、一般的な鋼管、さびやスケールが付着した古い配管では、同じ径と流量でも損失が異なるでしょう。

判断に使うのは、絶対粗さεそのものではなく、ε／Dで表す相対粗さです。

管径に対して粗さがどれほど大きいかを見ることで、異なるサイズの配管を同じ基準で比較できます。

乱流の摩擦係数はコールブルック式、またはムーディ線図から求める方法が代表的です。

ムーディ線図と摩擦係数の求め方

続いてはムーディ線図と摩擦係数の求め方を確認していきます。

ムーディ線図の読み取り手順

ムーディ線図は、横軸にレイノルズ数、縦軸にダルシー摩擦係数を取り、相対粗さごとの曲線を並べた図です。

まず流量と管内径から流速を求め、流体物性を用いてレイノルズ数を算出します。

次に管材の粗さと内径から相対粗さε／Dを求めます。

横軸のレイノルズ数から上へたどり、該当する相対粗さの曲線との交点を見つけ、縦軸でλを読み取ります。

線図は視覚的に理解しやすい反面、読み取り誤差が出やすいため、詳細設計では計算式との照合が安心です。

コールブルック式と近似式

乱流域の代表的な関係式がコールブルック式です。

1／√λ ＝ －2log₁₀［ε／（3.7D）＋2.51／（Re√λ）］と表されます。

ただし、λが式の両側に含まれるため、通常は反復計算を行います。

表計算ソフトでは初期値を置いて繰り返し計算するか、ゴールシーク機能を活用するとよいでしょう。

手計算や概算では、スワミー・ジェイン式などの近似式を使う方法もあります。

近似式の精度は用途によって十分なことが多いものの、保証値を扱う設計では適用範囲を確認してください。

また、配管の内面状態を過度に理想化すると、実運転で必要な圧力が不足するおそれがあります。

粗さデータの扱い

絶対粗さεは、管材の種類や内面状態によって変化します。

例えば滑らかな樹脂管は粗さが小さく、一般的な商用鋼管はそれより大きくなります。

ただし、カタログ値は新品の代表値であり、腐食、析出物、汚れ、ライニングの劣化まで保証するものではありません。

長期運転する設備や閉塞リスクのある流体では、将来の粗さ増加を見込んだ余裕を設計条件へ反映することが大切です。

既設配管の能力を評価する場合は、圧力計測結果から逆算して実効的な摩擦係数を推定する方法もあります。

計算例と配管設計の進め方

続いては計算例と配管設計の進め方を確認していきます。

水配管の圧力損失計算例

内径50mm、長さ100mの配管に、20℃の水を6m³／hで流す例を考えます。

水の密度を998kg／m³、動粘度を1.0×10^－6m²／s、摩擦係数を0.025と仮定します。

流量Qは6／3600より0.001667m³／sです。

断面積Aはπ×0.05²／4より約0.001963m²となります。

したがって平均流速vはQ／Aより約0.85m／sです。

レイノルズ数は0.85×0.05／1.0×10^－6より約42500です。

この値は乱流域に入るため、実際には管材の相対粗さを用いて摩擦係数を確認します。

計算例のλは説明用の仮定値であり、設計値として固定的に使うものではありません。

局部損失を含める方法

配管には直管だけでなく、エルボ、ティー、弁、逆止弁、ストレーナー、流量計などが設置されます。

これらによる損失は局部損失係数ζを使い、h_m ＝ ζv²／（2g）で計算します。

複数の部品がある場合は、それぞれのζを合計して局部損失を求めます。

直管部の摩擦損失h_fと局部損失h_mを足すことで、配管系の損失水頭が得られます。

短い配管でも弁や曲がりが多い系統では局部損失が支配的になることがあるため、直管損失だけで判断しないことが重要です。

ポンプ選定への反映

ポンプの必要全揚程は、配管摩擦損失だけで決まりません。

吸込側と吐出側の液面高さの差である実揚程、直管摩擦損失、局部損失、吐出圧力の条件を合計して求めます。

さらに流量が変わると流速と損失が変化するため、ポンプ曲線と配管系曲線が交わる点を確認する必要があります。

配管径を小さくすれば初期費用は抑えられるかもしれませんが、運転時の損失と電力費は増えやすくなります。

反対に大径化すると抵抗は減る一方、材料費や施工費が上がります。

配管設計では、初期コストと長期のエネルギーコストの両面から最適な管径を検討しましょう。

まとめ

ダルシー・ワイスバッハの式は、配管内の摩擦損失を揚程または圧力として求めるための基本式です。

式の中では、管長と流速が増えるほど損失が大きくなり、管内径が小さいほど損失が増えます。

特に流速は二乗で効くため、流量変更が配管性能へ与える影響を慎重に確認する必要があります。

摩擦係数λは層流と乱流で求め方が異なり、層流ではレイノルズ数、乱流ではレイノルズ数と相対粗さが重要になります。

ムーディ線図やコールブルック式を使い、管材や流体条件に合った摩擦係数を選びましょう。

単位をSI単位へそろえ、直管損失に局部損失と実揚程を加えることで、ポンプ選定や配管径の検討に活用できます。

公式を使う前に流速、レイノルズ数、摩擦係数、単位を順に確認することが、信頼できる配管計算への近道です。