微分の学習を進めていると、cos3xの微分という形に出会う場面があります。
cos3xの微分は合成関数の微分を使うことで解くことができ、三角関数の微分の中でも基本的な形として知られています。
この記事では、cos3xの微分公式の内容とその証明方法、合成関数の微分との関係について、わかりやすく丁寧に解説していきます。
cos3xの微分の公式は－3sin3x
それではまず、cos3xの微分の公式について解説していきます。
cos3xを微分すると、次のような結果が得られます。
d/dx(cos3x)＝－3sin3x
－3sin3xという形は、cosxの微分公式に合成関数の微分を組み合わせることで導き出すことができます。
係数の3が外側に現れる点と、符号がマイナスになる点が重要なポイントです。
cosxの微分がマイナスsinxになることを忘れずに、しっかりと意識しておきましょう。
公式の証明：合成関数の微分を使った方法
cos3xの微分の証明は、合成関数の微分法を使うことでシンプルに導くことができます。
cosxの微分公式：d/dx(cosx)＝－sinx
cos3xはcosuのu＝3xとおいた合成関数です。
合成関数の微分より、
d/dx(cos3x)＝d/du(cosu)×d/dx(3x)
＝－sinu×3
u＝3xを代入すると、＝－sin3x×3＝－3sin3x
証明のポイントは、外側の微分と内側の微分をかけ合わせる合成関数の微分の手順を正確に追うことです。
u＝3xとおくことで、cosuの微分公式をそのまま活用できる形に変形できます。
合成関数の微分の手順を整理する
合成関数の微分の手順を改めて整理しておきましょう。
f(g(x))の微分は f'(g(x))×g'(x) で求められます。
cos3xの場合、
f(u)＝cosu → f'(u)＝－sinu
g(x)＝3x → g'(x)＝3
d/dx(cos3x)＝f'(g(x))×g'(x)＝－sin3x×3＝－3sin3x
「外側の微分×内側の微分」という手順を意識することで、合成関数の微分をスムーズに計算できます。
この手順はあらゆる合成関数の微分に共通して使える考え方です。
cos(ax)の微分公式との対比で覚える
cos3xの微分を、cos(ax)の一般公式と対比させて覚えると記憶に定着しやすいです。
| 関数 | 微分結果 | 係数の影響 |
|---|---|---|
| cosx | －sinx | 係数なし |
| cos2x | －2sin2x | 2倍 |
| cos3x | －3sin3x | 3倍 |
| cos(ax) | －asin(ax) | a倍 |
表から、引数の係数aが微分結果の係数として現れるというパターンが見えてきます。
このパターンを把握しておくと、どんな係数がついても素早く微分を求めることができるでしょう。
cos3xの微分と合成関数の微分の関係を整理しよう
続いては、cos3xの微分と合成関数の微分の関係についてさらに詳しく確認していきます。
sin3xの微分との対比で覚える
cos3xの微分とsin3xの微分を対比させることで、混同を防ぐことができます。
d/dx(sin3x)＝3cos3x（符号はプラス）
d/dx(cos3x)＝－3sin3x（符号はマイナス）
sin3xの微分とcos3xの微分は符号と三角関数の種類が入れ替わる対称的な関係にあります。
この対称性を意識して覚えると、どちらの公式も正確に記憶できるでしょう。
微分から積分公式を導く
cos3xの微分結果を逆向きに使うことで、積分公式を確認することができます。
d/dx((1/3)sin3x)＝(1/3)・cos3x・3＝cos3x
よって ∫cos3x dx＝(1/3)sin3x＋C
また d/dx(cos3x)＝－3sin3xより、
∫sin3x dx＝－(1/3)cos3x＋C
微分と積分の逆関係を意識することで、一方の公式から他方を導き出すことができます。
この関係を理解しておくと、公式を忘れた際にも自分で導き直すことができるでしょう。
よくある間違いと注意点
cos3xの微分では、いくつかの典型的なミスが見られます。
まず、内側の微分（3xの微分＝3）をかけ忘れて－sin3xと答えてしまうケースがあります。
合成関数の微分では内側の微分を必ずかけることを、しっかりと意識してください。
また、符号のマイナスを忘れて3sin3xと答えてしまうミスも多いため、cosxの微分に必ずマイナスが付くことを確認しましょう。
cos3xの微分の応用例で理解を深めよう
続いては、cos3xの微分の応用例を通じてさらに理解を深めていきます。
例題①：基本的な合成関数の微分
問題：d/dx(cos3x)を求めよ。
外側の微分：－sin3x
内側の微分：d/dx(3x)＝3
d/dx(cos3x)＝－sin3x×3＝－3sin3x
この問題は合成関数の微分の手順を丁寧に追うことで解くことができます。
外側と内側の微分を順番に求めてからかけ合わせるという手順を習慣づけましょう。
例題②：さらに複雑な合成関数の微分
問題：d/dx(cos²(3x))を求めよ。
cos²(3x)＝(cos3x)²とおくと、さらに合成関数の微分が必要です。
最外側の微分：2cos3x
中間の微分：d/dx(cos3x)＝－3sin3x
d/dx(cos²(3x))＝2cos3x×(－3sin3x)＝－6sin3xcos3x
2倍角公式より ＝－3sin6x
2倍角公式sin(2θ)＝2sinθcosθを活用すると、結果をシンプルに整理できます。
3重の合成関数でも外側から順番に微分していく手順は変わりません。
例題③：積の微分との組み合わせ
問題：d/dx(x・cos3x)を求めよ。
f＝x → f’＝1
g＝cos3x → g’＝－3sin3x
d/dx(x・cos3x)＝1・cos3x＋x・(－3sin3x)＝cos3x－3xsin3x
この結果はcos3x－3xsin3xとなり、2つの項の差として表されます。
積の微分と合成関数の微分を組み合わせることで、より複雑な問題にも対応できるでしょう。
まとめ
この記事では、cos3xの微分の公式と証明、合成関数の微分との関係について解説しました。
cos3xの微分結果は－3sin3xであり、cosxの微分公式に合成関数の微分を組み合わせることで導くことができます。
引数の係数aが微分結果の係数として現れるというパターンを把握しておくと、cos(ax)の形の微分全般に対応できるでしょう。
内側の微分をかけ忘れるミスと符号のマイナスを忘れるミスが最も多いため、合成関数の微分の手順を丁寧に追う習慣をつけることが大切です。
公式の意味と証明の流れをしっかり理解した上で、さまざまな問題に挑戦してみてください。
