積分の学習を進めていると、cos3xの積分という形に出会うことがあります。
cos3xの積分は置換積分を使うことで解くことができ、三角関数の積分の中でも基本的な形として知られています。
この記事では、cos3xの積分公式とその導き方、置換積分を使った解き方、具体的なやり方まで丁寧に解説していきます。
cos3xの積分の公式は(1/3)sin3x＋C
それではまず、cos3xの積分の公式について解説していきます。
∫cos3x dx＝(1/3)sin3x＋C（Cは積分定数）
(1/3)sin3x＋Cという形は、cosxの積分公式に置換積分を組み合わせることで導き出すことができます。
係数の3が分母に現れる点が、cosxやcos2xの積分との違いです。
公式の形をしっかり覚えた上で、証明の流れも確認しておきましょう。
公式の証明：置換積分を使った方法
cos3xの積分の証明は、置換積分を使うことでシンプルに導くことができます。
t＝3xとおくと dt＝3dx より dx＝dt/3
∫cos3x dx＝∫cost・(dt/3)＝(1/3)∫cost dt
＝(1/3)sint＋C
t＝3xを代入すると、＝(1/3)sin3x＋C
t＝3xとおく置換積分によって、cosxの積分公式をそのまま活用できる形に変形できます。
最後にtをもとの変数に戻すことを忘れずに行いましょう。
微分を逆算して確認する方法
積分の結果が正しいかどうかは、微分を逆算することで確認できます。
(1/3)sin3xを微分すると、
d/dx((1/3)sin3x)＝(1/3)・cos3x・3＝cos3x
もとの被積分関数cos3xに戻ることが確認できます。
このように微分して元に戻るかを確認する習慣をつけると、計算ミスを防ぐことができます。
合成関数の微分で係数の3が現れ、(1/3)と打ち消し合う点が公式の美しさといえるでしょう。
cos(ax)の積分公式との対比で覚える
cos3xの積分を、cos(ax)の一般公式と対比させて覚えると記憶に定着しやすいです。
| 被積分関数 | 積分結果 | 係数の影響 |
|---|---|---|
| cosx | sinx＋C | 係数なし |
| cos2x | (1/2)sin2x＋C | 1/2をかける |
| cos3x | (1/3)sin3x＋C | 1/3をかける |
| cos(ax) | (1/a)sin(ax)＋C | 1/aをかける |
表から、引数の係数aが分母に現れるというパターンが見えてきます。
このパターンを把握しておくと、どんな係数がついても素早く積分を求めることができるでしょう。
cos3xの積分の置換積分のやり方を整理しよう
続いては、cos3xの積分における置換積分の具体的なやり方について整理していきます。
置換積分の手順を丁寧に確認する
cos3xの積分を置換積分で解く際の手順を確認しましょう。
① t＝3xとおく
② 両辺をxで微分してdt＝3dxを得る
③ dx＝dt/3と変形する
④ ∫cos3x dx＝(1/3)∫cost dtと変換する
⑤ (1/3)sint＋Cを得る
⑥ t＝3xを代入して(1/3)sin3x＋Cを得る
置換積分の手順を6ステップで丁寧に追うことで、確実に正しい答えを導き出すことができます。
特にdxをdtに変換する手順を丁寧に行うことが、計算ミスを防ぐ上で重要です。
sin3xの積分との対比で覚える
cos3xの積分とsin3xの積分を対比させることで、混同を防ぐことができます。
∫cos3x dx＝(1/3)sin3x＋C
∫sin3x dx＝－(1/3)cos3x＋C
sin3xの積分にはマイナス符号が付く点がcos3xの積分との大きな違いです。
この符号の違いを正確に把握しておくことが、計算ミスを防ぐ上で非常に重要でしょう。
cos³xの積分との違いを理解する
cos3xとcos³xは似た表記ですが、まったく異なる関数であることに注意が必要です。
cos3xは引数が3xの余弦関数であり、cos³xはcosxの3乗です。
cos³xの積分は三倍角公式を使って変形する必要があり、cos3xの積分とは別の手順が必要となります。
cos3xの積分の例題で理解を深めよう
続いては、実際の例題を通じてcos3xの積分の解き方を確認していきます。
例題①：基本的な不定積分
問題：∫cos3x dx を求めよ。
解答：公式を直接適用して、
∫cos3x dx＝(1/3)sin3x＋C
この問題は公式をそのまま当てはめるだけで解くことができます。
係数1/3と積分定数Cを忘れずに記載しましょう。
例題②：係数を含む場合の積分
問題：∫2cos3x dx を求めよ。
定数倍は積分の外に出せるため、
∫2cos3x dx＝2∫cos3x dx＝2・(1/3)sin3x＋C＝(2/3)sin3x＋C
係数をそのまま外に出して計算を進めると、シンプルに解くことができます。
積分の線形性を積極的に活用しましょう。
例題③：定積分への応用
問題：∫[0→π/6]cos3x dx を求めよ。
∫cos3x dx＝(1/3)sin3xより、
[(1/3)sin3x]のx＝0からx＝π/6までを計算します。
(1/3)sin(π/2)－(1/3)sin0＝(1/3)・1－(1/3)・0＝1/3
定積分では不定積分の結果に上端と下端の値を代入して差を求めます。
sin(π/2)＝1、sin0＝0であることを覚えておくと、計算がスムーズです。
まとめ
この記事では、cos3xの積分公式とその導き方、置換積分を使った解き方、例題について解説しました。
公式は∫cos3x dx＝(1/3)sin3x＋Cであり、t＝3xとおく置換積分によって導くことができます。
引数の係数aが分母に現れるというパターンを把握しておくと、cos(ax)の形の積分全般に対応できるでしょう。
sin3xの積分との符号の違いと、cos³xとの表記の違いをしっかり区別しておくことが正確な計算のポイントです。
公式の意味と導き方をしっかり理解した上で、さまざまな問題に取り組んでみてください。
