対数不等式は、高校数学の数Ⅱで登場する重要な単元のひとつです。
対数の性質を使って不等式を解くことが求められますが、「底の大きさによって不等号の向きが変わる」という独特のルールで混乱する方も多いでしょう。
この記事では、対数不等式の意味・解き方・計算方法・求め方をパターン別にわかりやすく解説します。
よくある間違いポイントと解くためのコツも説明しますので、ぜひ最後までご覧ください。
対数不等式とは何か？意味と基本ルールをわかりやすく解説
それではまず、対数不等式の意味と基本ルールについて解説していきます。
対数不等式とは、不等式の中に対数（log）が含まれている不等式のことです。
対数不等式を解くためには、対数の単調性（底aの大きさによる増加・減少の違い）を正しく把握することが最重要です。
対数不等式の基本ルール（重要）
底 a ＞ 1 のとき：log_a p ＞ log_a q ⟺ p ＞ q（不等号の向きは変わらない）
底 0 ＜ a ＜ 1 のとき：log_a p ＞ log_a q ⟺ p ＜ q（不等号の向きが逆になる）
どちらの場合も真数条件（p＞0, q＞0）を忘れずに確認する
不等号の向きが変わる理由
底a＞1のとき対数関数は単調増加であるため、真数が大きいほど対数値も大きくなります。
一方、0＜a＜1のとき対数関数は単調減少であるため、真数が大きいほど対数値は小さくなります。
底が1より小さいと不等号が逆転するのは、対数関数が単調減少だからというのが根本的な理由です。
対数不等式の解き方をパターン別に解説
続いては、対数不等式の解き方をパターン別に確認していきます。
パターン1：log_a f(x) ＞ k の形
例：log₂(x − 1) ＞ 2 を解く
まず真数条件：x − 1 ＞ 0 → x ＞ 1 …①
底2＞1なので不等号の向きはそのまま
log₂(x − 1) ＞ log₂(2²) ＝ log₂4
x − 1 ＞ 4
x ＞ 5 …②
①②の共通範囲：x ＞ 5
右辺の定数kを「log_a(a^k)」の形に変換してから比較することがポイントです。
パターン2：0＜a＜1のとき（不等号逆転）
例：log_(1/2)(x + 3) ＞ −1 を解く
真数条件：x ＋ 3 ＞ 0 → x ＞ −3 …①
底1/2は0＜1/2＜1なので不等号が逆転する
log_(1/2)(x + 3) ＞ log_(1/2)((1/2)^(−1)) ＝ log_(1/2)2
不等号逆転：x ＋ 3 ＜ 2
x ＜ −1 …②
①②の共通範囲：−3 ＜ x ＜ −1
底が1より小さい場合は不等号を逆転させることを絶対に忘れてはいけない最重要ポイントです。
パターン3：対数の両辺比較
例：log₃(x + 2) ≧ log₃(2x − 1) を解く
真数条件：x ＋ 2 ＞ 0 かつ 2x − 1 ＞ 0
x ＞ −2 かつ x ＞ 1/2 → x ＞ 1/2 …①
底3＞1なので不等号そのまま
x ＋ 2 ≧ 2x − 1
3 ≧ x → x ≦ 3 …②
①②の共通範囲：1/2 ＜ x ≦ 3
両辺に対数がある場合は、真数条件を両方の真数について設定することが必要です。
対数不等式を解くときの注意点とコツ
続いては、対数不等式を解く際の注意点とコツを確認していきます。
解くための手順まとめ
| ステップ | 内容 |
|---|---|
| Step 1 | 真数条件を設定する（真数＞0） |
| Step 2 | 底aの大きさを確認する（a＞1か0＜a＜1か） |
| Step 3 | 両辺を同じ底のlogで表す |
| Step 4 | 底に応じて不等号の向きを決める |
| Step 5 | 真数部分の不等式を解く |
| Step 6 | Step 1の真数条件との共通範囲を求める |
真数条件との「共通範囲（AND）」をとることを忘れると、不適切な解を含んでしまうため必ず最後に確認しましょう。
まとめ
この記事では、対数不等式の意味・解き方・計算方法・求め方についてパターン別に解説しました。
対数不等式を解く際の最大のポイントは「底a＞1なら不等号そのまま・0＜a＜1なら不等号逆転」というルールです。
真数条件の設定と共通範囲の確認を手順として必ず行うことで、解き忘れや誤答を防ぐことができます。
パターン別の解き方をマスターして、対数不等式の問題に自信を持って取り組みましょう。
