単振動の公式は物理学の振動・波動分野の基礎となる重要な式です。
「単振動の公式の意味がわからない」「変位・速度・加速度をどう求めるのか理解できない」という方も多いでしょう。
この記事では、単振動の公式の意味・定義・変位・速度・加速度の求め方をわかりやすく丁寧に解説します。
エネルギーとの関係や具体的な計算例についても説明しますので、ぜひ最後までご覧ください。
単振動の公式の意味と定義をわかりやすく解説
それではまず、単振動の公式の意味と定義について解説していきます。
単振動の基本公式まとめ
変位：x(t) ＝ A sin(ωt ＋ φ)
速度：v(t) ＝ dx/dt ＝ Aω cos(ωt ＋ φ)
加速度：a(t) ＝ dv/dt ＝ −Aω² sin(ωt ＋ φ) ＝ −ω²x
各記号：A（振幅）、ω（角振動数）、t（時間）、φ（初期位相）
加速度の公式 a＝−ω²x は「加速度が変位に比例しかつ逆向きである」という単振動の本質を直接表しており、最重要公式です。
各記号の意味
公式中の各記号の意味を確認しておきましょう。
振幅A（m）は平衡点からの最大変位であり、グラフの波の高さ（または深さ）に対応します。
角振動数ω（rad/s）は1秒間に何ラジアン位相が進むかを表し、周期Tとはω＝2π/Tの関係があります。
初期位相φ（rad）はt＝0のときの位相のずれを表し、初期条件によって決まります。
運動方程式との関係
単振動の運動方程式はニュートンの第二法則（F＝ma）と復元力（F＝−kx）から導かれます。
ma ＝ −kx より a ＝ −(k/m)x
ω² ＝ k/m とおくと a ＝ −ω²x（単振動の方程式）
角振動数 ω ＝ √(k/m)
周期 T ＝ 2π/ω ＝ 2π√(m/k)
ばね定数kが大きいほど・質量mが小さいほど角振動数ωが大きくなり、振動が速くなります。
変位・速度・加速度の具体的な求め方
続いては、単振動の変位・速度・加速度の具体的な求め方を確認していきます。
初期条件から公式を決定する方法
初期条件（t＝0のときの位置と速度）を使って公式中の振幅Aと初期位相φを決定します。
例：t＝0のとき x＝0・v＝v₀（最大速度）の場合
x(0) ＝ A sin(φ) ＝ 0 → φ ＝ 0
v(0) ＝ Aω cos(0) ＝ Aω ＝ v₀ → A ＝ v₀/ω
よって x(t) ＝ (v₀/ω) sin(ωt)
例：t＝0のとき x＝A・v＝0（最大変位から開始）の場合
x(0) ＝ A sin(φ) ＝ A → φ ＝ π/2
x(t) ＝ A sin(ωt ＋ π/2) ＝ A cos(ωt)
最大変位から振動が始まる場合はcos公式・ゼロ点から始まる場合はsin公式を使うというのが実践的な判断基準です。
最大値・最小値の確認
| 物理量 | 最大値 | 最小値 | そのときの条件 |
|---|---|---|---|
| 変位 x | ＋A | −A | 振幅の端点 |
| 速度 v | Aω | −Aω | 平衡点通過時 |
| 加速度 a | Aω² | −Aω² | 振幅の端点 |
速度が最大になるのは変位がゼロのとき（平衡点通過時）であり、速度がゼロになるのは変位が最大のとき（折り返し点）という関係は非常に重要です。
単振動のエネルギーと公式の関係
続いては、単振動のエネルギーと公式の関係を確認していきます。
力学的エネルギーの保存
単振動では運動エネルギーKと弾性位置エネルギーUの和（力学的エネルギーE）が常に一定に保たれます。
運動エネルギー：K ＝ (1/2)mv² ＝ (1/2)mA²ω²cos²(ωt)
弾性位置エネルギー：U ＝ (1/2)kx² ＝ (1/2)mω²A²sin²(ωt)
力学的エネルギー：E ＝ K ＋ U ＝ (1/2)mA²ω²（一定）
k＝mω²を使って整理
単振動では力学的エネルギーが保存され、運動エネルギーと位置エネルギーが相互変換されながら振動が続きます。
まとめ
この記事では、単振動の公式の意味・定義・変位・速度・加速度の求め方について解説しました。
単振動の基本公式はx(t)＝A sin(ωt＋φ)であり、速度・加速度はそれぞれ微分によって導かれます。
初期条件からAとφを決定し、各物理量を求めることが問題解法の基本手順です。
力学的エネルギー保存則と組み合わせることで、より複雑な単振動の問題にも対応できるようになるでしょう。
