cos45度は三角関数の基本特殊角のひとつで、学習初期から繰り返し登場する重要な値です。
√2という無理数が登場するため、値の形に戸惑う方も多いのではないでしょうか。
この記事ではcos45度の値・計算方法・覚え方のコツを丁寧に解説します。
一度しっかり理解してしまえば、cos45°の値は一生忘れなくなるでしょう。
cos45度の値は√2/2！直角二等辺三角形から簡単に導ける！
それではまずcos45度の値とその求め方について解説していきます。
cos45°の値は√2/2（約0.7071）です。
この値は45°・45°・90°の直角二等辺三角形を使うと非常にわかりやすく導くことができます。
cos45° ＝ √2/2 ≒ 0.7071
45°・45°・90°の三角形における辺の比は 1：1：√2 となります。
この三角形において、45°の角の隣辺が1、斜辺が√2であるため、
cos45° ＝ 隣辺 ÷ 斜辺 ＝ 1 ÷ √2 ＝ 1/√2 ＝ √2/2
と求めることができます。
1/√2の形から√2/2への変換は分母の有理化によるものであり、試験では有理化した形で答えることが一般的です。
分母の有理化でcos45度を整理する
1/√2という形から√2/2への変換は分母の有理化というテクニックを使います。
1/√2 ＝ (1 × √2)/(√2 × √2) ＝ √2/2
分母に√が残っていると不完全な答えとされることが多いため、有理化は必須の操作として身につけておきましょう。
√2/2という形が最終的なcos45°の値として覚えておくべき形です。
単位円でcos45度を確認する
単位円上でθ ＝ 45°の点の座標は(√2/2, √2/2)となります。
x座標 ＝ cos45° ＝ √2/2、y座標 ＝ sin45° ＝ √2/2であり、cosとsinが等しくなる特別な角度です。
この「cosとsinが同じ値になる」という性質は45°だけの特徴であり、45°の特別さを象徴しています。
cos45度の覚え方のコツ
cos45°を覚えるための最もシンプルなコツは「直角二等辺三角形の辺の比1：1：√2を覚えること」です。
2本の等しい辺が1、斜辺が√2という形から、cos45° ＝ 1/√2 ＝ √2/2がいつでも導き出せます。
また「cos45° ＝ sin45° ＝ √2/2」とセットで覚えることも有効でしょう。
45°ではcosとsinが等しいという唯一性を記憶のフックとして活用してみてください。
cos45度に関連する三角関数の値と比較
続いてはcos45度に関連する三角関数の値を比較して確認していきます。
45度のsin・cos・tanの値一覧
| 関数 | 値 | 小数近似 |
|---|---|---|
| cos45° | √2/2 | ≒0.7071 |
| sin45° | √2/2 | ≒0.7071 |
| tan45° | 1 | 1.0000 |
tan45° ＝ sin45°/cos45° ＝ (√2/2)/(√2/2) ＝ 1となり、tan45° ＝ 1という非常にきれいな値になります。
cos・sin・tanがすべてシンプルな値になる45°は、三角関数の中でも特別な角度といえるでしょう。
cos45度を含む計算問題の例
例題1：cos²45° + sin²45° ＝ ？
(√2/2)² + (√2/2)² ＝ 1/2 + 1/2 ＝ 1 ✓
例題2：cos45° × √2 ＝ ？
(√2/2) × √2 ＝ √4/2 ＝ 2/2 ＝ 1
このような計算でcos45°の値を正確に使うことで、きれいな答えが得られることが多いでしょう。
cos45度と他の特殊角との関係
| 角度 | cos値 | 特徴 |
|---|---|---|
| 30° | √3/2 | cos > sin |
| 45° | √2/2 | cos ＝ sin |
| 60° | 1/2 | cos < sin |
30°では cos > sin、45°では cos ＝ sin、60°では cos < sin という関係になっており、この変化の様子を覚えておくと便利でしょう。
cos45度を使った応用問題
続いてはcos45度が登場する応用問題への対応を確認していきます。
cos45度を使った加法定理の練習
例題：cos75° ＝ cos(45° + 30°)を加法定理で求める
cos75° ＝ cos45°cos30° − sin45°sin30°
＝ (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2)
＝ √6/4 − √2/4 ＝ (√6 − √2)/4
cos45°の値を正確に把握していることで、このような加法定理の計算がスムーズに進みます。
余弦定理でのcos45度の活用
例：a ＝ 3、b ＝ 3、C ＝ 45°のとき
c² ＝ 9 + 9 − 2 × 3 × 3 × (√2/2)
＝ 18 − 9√2
このように三角形の問題でも cos45°が頻繁に活躍します。
基本値を確実に覚えておくことが応用力の源泉です。
cos45度を徹底的に定着させる方法
cos45°を完全に定着させるためには、以下の3つのアプローチを組み合わせることが効果的です。
まず直角二等辺三角形の辺の比から論理的に導けること、次に単位円上の点(√2/2, √2/2)を視覚的にイメージできること、そして実際の計算問題でくり返し使って体に覚えさせることです。
この3つの積み重ねによって、cos45° ＝ √2/2という値が自然と引き出せる知識として確立されるでしょう。
まとめ
cos45°の値は√2/2（≒0.7071）であり、45°・45°・90°の直角二等辺三角形の辺の比「1：1：√2」から導き出せます。
1/√2を有理化した形が√2/2であり、試験ではこの形で答えることが求められます。
45°はcos ＝ sinとなる唯一の特殊角であり、tan45° ＝ 1というきれいな値も合わせて覚えておくと便利でしょう。
直角二等辺三角形・単位円・計算問題の3つを使った学習法でcos45°を確実に定着させてください。
