「直角双曲線って、普通の双曲線と何が違うの？」という疑問を持つ方も多いでしょう。
直角双曲線は双曲線の特別なケースであり、反比例のグラフとして中学数学でもなじみ深い存在です。
本記事では、直角双曲線の定義・特徴・性質を、反比例との関係・漸近線が垂直になる理由・離心率・回転変換の観点からわかりやすく解説していきます。
直角双曲線とは「漸近線が直交する双曲線」（結論）
それではまず、直角双曲線の定義と基本的な特徴について結論から解説していきます。
直角双曲線とは、2本の漸近線が互いに直交（90度をなす）双曲線のことであり、「等軸双曲線」とも呼ばれます。
標準形では a＝b のとき、漸近線の傾きが±1（y＝x と y＝−x）となり、これらは直交します。
さらに直角双曲線を45度回転させると、xy＝k（kは定数）という形の方程式になり、これが中学数学で学ぶ反比例（y＝k/x）のグラフと一致します。
直角双曲線の方程式
直角双曲線の代表的な方程式は次の2つです。
標準形（漸近線がy＝±xの場合）：x²−y²＝a²
座標軸が漸近線の形：xy＝k（kは定数、k≠0）
xy＝kの形は、x軸とy軸が漸近線になっており、よりシンプルな表現です。
この形が反比例 y＝k/x と同じグラフであることから、中学数学の「反比例のグラフ＝直角双曲線」という関係が成立します。
反比例との関係
中学数学で学ぶ反比例 y＝k/x（またはxy＝k）のグラフは、直角双曲線そのものです。
k＞0のとき、グラフは第1象限と第3象限に一本ずつ曲線が現れます。
k＜0のとき、グラフは第2象限と第4象限に現れます。
このグラフのx軸・y軸は双曲線の漸近線であり、曲線はこれらの軸に近づくものの、決して交わりません。
離心率と直角双曲線の特徴
直角双曲線（a＝bの場合）の離心率は e＝c/a であり、c＝√(a²＋b²)＝√(2a²)＝a√2 となります。
よって e＝a√2/a＝√2 ≒ 1.414 が直角双曲線の離心率です。
すべての直角双曲線の離心率は√2で一定であり、これが直角双曲線を識別する重要な特徴のひとつです。
回転変換と直角双曲線の関係
続いては、回転変換と直角双曲線の関係について確認していきます。
45度回転による変換
標準形の直角双曲線 x²−y²＝a² を45度回転させると、座標変換により xy＝a²/2 という形に変換されます。
逆にxy＝kを45度回転させると x²−y²＝2k の標準形になります。
この回転変換により、反比例のグラフ（xy＝k）と標準形の双曲線（x²−y²＝a²）が同じ図形の異なる向きの表現であることが分かります。
直角双曲線の対称性
xy＝kの形の直角双曲線は、y＝xとy＝−xの直線に対して対称です。
また原点に対しても点対称であり、一方の枝を180度回転させると他方の枝と重なります。
この高い対称性が直角双曲線のグラフに美しさと規則性を与えています。
直角双曲線の応用
直角双曲線（反比例のグラフ）は、経済学における「需要曲線・供給曲線」の単純化モデルにも登場します。
また熱力学での等温過程（ボイルの法則：PV＝一定）もxy＝kの形をしており、直角双曲線の重要な物理的応用です。
情報理論・統計学においても逆比例的な関係が直角双曲線として現れる場面があります。
直角双曲線とは漸近線が直交する双曲線であり、a＝bのとき成立します。離心率は√2で一定。45度回転するとxy＝kの反比例グラフと一致し、中学数学の反比例のグラフが双曲線であることが分かります。熱力学（ボイルの法則）などにも応用されます。
まとめ
本記事では、直角双曲線の定義・特徴・性質について、反比例との関係・漸近線の直交・離心率・回転変換の観点から解説しました。
直角双曲線はa＝bのとき成立し、漸近線が直交・離心率が√2・反比例グラフと同じ形という特徴的な性質を持ちます。
中学数学の反比例が高校数学の双曲線へとつながる「橋渡し」となる概念として、ぜひ理解を深めていただければ幸いです。
