「第4象限ってどこにあって、どんな特徴があるの？」という疑問を持つ方も多いでしょう。
第4象限はx座標が正でy座標が負という組み合わせを持つ領域であり、三角関数の角度と関数の挙動を理解する上で重要な役割を果たします。
本記事では、第4象限の特徴と数学的性質を、座標の符号・グラフとの関係・角度の範囲・三角関数との関係とともに詳しく解説していきます。
第4象限はx座標が正・y座標が負の領域（結論）
それではまず、第4象限の定義と基本的な特徴について結論から解説していきます。
第4象限とは、座標平面においてx座標が正（x＞0）かつy座標が負（y＜0）の領域です。
座標平面上では右下の領域に位置しており、第1象限（右上）のすぐ下、第3象限（左下）とは原点を挟んで点対称の位置にあります。
例えば（3，−5）・（0.5，−2）・（100，−0.01）はすべて第4象限の点です。
第4象限の座標の特徴と符号
第4象限内の点（x，y）では必ず x＞0 かつ y＜0 が成立します。
x座標はy軸より右側（正の方向）にありながら、y座標はx軸より下側（負の方向）にあるという、「右に位置するが下に位置する」という組み合わせです。
第2象限（x＜0・y＞0）と原点を挟んで点対称の関係にもあります。
三角関数と第4象限の関係
角θが第4象限（3π/2＜θ＜2π、つまり270度＜θ＜360度）にあるとき、三角関数の符号は次のようになります。
sin θ＜0（y座標が負）、cos θ＞0（x座標が正）、tan θ＝sin θ/cos θ＜0（負）となります。
第4象限では cos のみが正であることが重要なポイントです。
第4象限の三角関数の計算方法
第4象限の角の三角関数は「2π−θの関係」を利用して計算します。
sin(2π−θ)＝−sin θ
cos(2π−θ)＝cos θ
tan(2π−θ)＝−tan θ
例：sin(5π/3)＝sin(2π−π/3)＝−sin(π/3)＝−√3/2
cos(5π/3)＝cos(π/3)＝1/2
tan(5π/3)＝−tan(π/3)＝−√3
第4象限のグラフの挙動と数学的応用
続いては、第4象限に関連するグラフの挙動と数学的な応用について確認していきます。
代表的な関数と第4象限の関係
y＝−x（直線）はx＞0のとき y＜0 となり、第4象限（と第2象限）を通ります。
y＝−x²（下に凸の放物線の上下反転）は常に y≦0 であり、x＞0の部分（x軸を除く）は第4象限に位置します。
y＝log x は x＞0 が定義域ですが、0＜x＜1 のとき y＜0 となるため、その部分は第4象限に位置します。
y＝sin x のグラフは π＜x＜2π の範囲で y＜0 となる部分があり、x＞0のその区間は第4象限にグラフがあります。
偶関数と第4象限
偶関数 f(−x)＝f(x) はy軸に対して対称であり、第4象限にグラフがあれば第3象限にも（x＜0かつy＜0）同じ形で現れます。
ただし y＝x²（偶関数）は常にy≧0なので第4象限にはグラフがない例外もあります。
第4象限での関数の挙動は「x軸より下側のグラフ」を理解する際の基礎となります。
不等式と第4象限
連立不等式 x＞0 かつ y＜0 の解領域がまさに第4象限です。
線形計画法の問題や最適化問題において、解が第4象限に限定されるケースも存在します。
| 象限 | x | y | 位置 | 三角関数（正） |
|---|---|---|---|---|
| 第1象限 | 正 | 正 | 右上 | sin・cos・tan |
| 第2象限 | 負 | 正 | 左上 | sin |
| 第3象限 | 負 | 負 | 左下 | tan |
| 第4象限 | 正 | 負 | 右下 | cos |
第4象限はx＞0かつy＜0の領域（座標平面の右下）です。角度の範囲は270度〜360度（3π/2〜2π）で、三角関数ではcosのみが正になります。第4象限の三角関数はsin(2π−θ)＝−sin θ、cos(2π−θ)＝cos θ、tan(2π−θ)＝−tan θの関係を使って計算します。
まとめ
本記事では、第4象限の特徴・座標の性質・三角関数との関係・代表的な関数のグラフの挙動について解説しました。
第4象限は「x座標が正・y座標が負」の右下領域であり、三角関数ではcosのみが正という特徴を持ちます。
4象限すべての特徴（符号・位置・三角関数の符号）を一覧表でまとめて覚えることで、数学の様々な問題への対応力が格段に上がるでしょう。
