「放物線と直線の交点ってどうやって求めるの？」という疑問は、数学を学ぶ多くの方にとって重要な問いです。
放物線と直線の位置関係（交点の個数）は判別式を使って判定でき、実際の交点の座標は連立方程式を解いて求めます。
本記事では、放物線と直線の交点の求め方・接する条件・判別式の活用を、共有点の個数の判定とともに丁寧に解説していきます。
放物線と直線の交点は連立方程式を解いて求める（結論）
それではまず、放物線と直線の交点の求め方の結論から解説していきます。
放物線 y＝ax²＋bx＋c と直線 y＝mx＋n の交点は、y を消去して ax²＋(b−m)x＋(c−n)＝0 を解くことで求まります。
この二次方程式の解の個数（判別式の符号）によって、共有点の個数が決まります。
判別式による共有点の個数の判定
ax²＋(b−m)x＋(c−n)＝0 の判別式を D＝(b−m)²−4a(c−n) とすると次のように判定できます。
D＞0 → 2つの異なる実数解 → 2点で交わる
D＝0 → 重解（1つの解） → 接する（1点で共有）
D＜0 → 実数解なし → 共有点なし
D＝0 のときは「直線が放物線に接している」状態であり、この条件を接線の条件と呼びます。
交点の計算例
y＝x² と y＝x＋2 の交点を求める。
x²＝x＋2 → x²−x−2＝0 → (x−2)(x＋1)＝0
x＝2 または x＝−1
交点：（2，4）と（−1，1）
接する条件の計算例
y＝x² に y＝2x＋k が接する条件を求める。
x²＝2x＋k → x²−2x−k＝0
判別式D＝4＋4k＝0 → k＝−1
接線：y＝2x−1（接点はx＝1，y＝1）
放物線と直線の位置関係の応用
続いては、放物線と直線の位置関係の応用問題について確認していきます。
kを含む直線と放物線の交点の個数
y＝ax² と y＝mx＋k（kがパラメータ）の交点の個数はkの値によって変化します。
D＝m²−4a(−k)＝m²＋4ak の符号で判定でき、k＞−m²/(4a) のとき2交点、k＝−m²/(4a) のとき接線、k＜−m²/(4a) のとき共有点なしとなります。
接線の条件の幾何学的意味
D＝0 は「直線と放物線が1点のみを共有する」ことを意味しますが、これが接線であるためには「その点で傾きが一致している」ことも必要です。
二次曲線（放物線）と直線においては、D＝0が成立すれば自動的に接していること（傾きが一致）が保証されます。
| 判別式D | 共有点の数 | 位置関係 |
|---|---|---|
| D＞0 | 2点 | 2点で交わる |
| D＝0 | 1点 | 接する |
| D＜0 | 0点 | 共有点なし |
放物線と直線の交点は連立して二次方程式を作り、判別式Dの符号で共有点の個数を判定します。D＞0で2交点、D＝0で接する（1点共有）、D＜0で共有点なし。接する条件D＝0をkなどのパラメータについて解く問題が入試でよく出題されます。
まとめ
本記事では、放物線と直線の交点の求め方・判別式による共有点の個数の判定・接する条件について解説しました。
連立方程式を立てて二次方程式を作り、判別式で共有点の個数を判定するという基本的な流れを確実に身につけることが重要です。
判別式D＝0による接する条件は入試でも頻出であるため、しっかりと練習して習得していただければ幸いです。
