「第3象限ってどんな特徴があるの？」という疑問を持つ方も多いでしょう。
第3象限はx座標もy座標もともに負という、日常的な感覚では少しイメージしにくい領域ですが、数学では重要な意味を持ちます。
本記事では、第3象限の特徴と座標平面での位置を、数学的意味・グラフでの表現・三角関数との関係とともに解説していきます。
第3象限はx座標もy座標もともに負の領域（結論）
それではまず、第3象限の定義と基本的な特徴について結論から解説していきます。
第3象限とは、座標平面においてx座標が負（x＜0）かつy座標も負（y＜0）の領域です。
座標平面上では左下の領域に位置しており、第1象限（右上）と原点を挟んで点対称の位置にあります。
例えば（−3，−5）・（−0.5，−2）・（−100，−0.01）はすべて第3象限の点です。
第3象限の座標の特徴
第3象限内の点（x，y）では必ず x＜0 かつ y＜0 が成立します。
x座標はy軸より左側、y座標はx軸より下側にあるため、「左下の領域」として覚えると分かりやすいでしょう。
第3象限の点は第1象限の点と原点に対して点対称の関係にあります。
三角関数と第3象限の関係
角θが第3象限（π＜θ＜3π/2、つまり180度＜θ＜270度）にあるとき、三角関数の符号は次のようになります。
sin θ＜0（y座標が負）、cos θ＜0（x座標が負）、tan θ＝sin θ/cos θ＞0（負÷負＝正）となります。
第3象限では tan のみが正であることが特徴です。
第3象限の角度の範囲と三角関数の計算
第3象限の角の三角関数を計算するには「π＋θの関係（加法定理の特殊形）」を利用します。
sin(π＋θ)＝−sin θ
cos(π＋θ)＝−cos θ
tan(π＋θ)＝tan θ
例：sin(4π/3)＝sin(π＋π/3)＝−sin(π/3)＝−√3/2
cos(4π/3)＝−cos(π/3)＝−1/2
tan(4π/3)＝tan(π/3)＝√3
第3象限のグラフの挙動と応用
続いては、第3象限に関連するグラフの挙動と応用について確認していきます。
代表的な関数と第3象限の関係
y＝x（直線）は第3象限と第1象限を通ります（x＜0のとき y＝x＜0なのでx座標もy座標も負）。
y＝x³（三次関数）はx＜0のとき y＜0 となるため、x＜0の部分は第3象限に位置します。
y＝1/x（反比例）はx＜0のとき y＜0 となり、第3象限にグラフが存在します。
y＝x²（二次関数）は常に y≧0 であるため、第3象限（y＜0）にはグラフが存在しません。
奇関数と第3象限
奇関数とは f(−x)＝−f(x) を満たす関数であり、グラフが原点に対して点対称です。
奇関数では第1象限にグラフがあれば、必ず第3象限にも対称な形でグラフが存在します。
y＝x、y＝x³、y＝sin x、y＝tan x、y＝1/x などが奇関数の代表例です。
第3象限と負の数の理解
第3象限はxもyも負という「2つの負が重なった領域」であり、負の数の概念の理解を深める上で重要です。
例えば「気温が−5度、海面より5m下」のように2つの量がともに負の状況を座標で表すと第3象限に位置します。
経済学では費用（支出）と損失をともに負として表す場合に第3象限が意味を持つことがあります。
| 項目 | 第3象限の特徴 |
|---|---|
| x座標の符号 | 負（x＜0） |
| y座標の符号 | 負（y＜0） |
| 位置 | 座標平面の左下 |
| 角度の範囲 | 180度＜θ＜270度（π＜θ＜3π/2） |
| 三角関数の符号 | tanのみ正、sin・cosは負 |
第3象限はx＜0かつy＜0の領域（座標平面の左下）です。三角関数ではtanのみが正で、sin・cosは負になります。第3象限の三角関数はsin(π＋θ)＝−sin θ、cos(π＋θ)＝−cos θ、tan(π＋θ)＝tan θの関係を使って計算します。奇関数のグラフは第1・第3象限に原点対称で現れます。
まとめ
本記事では、第3象限の特徴・座標の性質・三角関数との関係・代表的な関数のグラフの挙動・奇関数との関係について解説しました。
第3象限は「x座標もy座標もともに負」の左下領域であり、三角関数ではtanのみが正という特徴を持ちます。
奇関数との関係や三角関数の計算（π＋θの関係）をあわせて理解して、第3象限の問題に自信を持って取り組んでいただければ幸いです。
