cos135度は試験でよく登場する重要な特殊角のひとつです。
第2象限に属するため符号の処理を間違えやすく、しっかりと計算の手順を押さえておくことが大切です。
この記事ではcos135度の値・計算方法・覚え方のコツを丁寧に解説します。
cos135度の値は−√2/2！補角の公式で素早く求められる！
それではまずcos135度の値とその求め方について解説していきます。
cos135° ＝ −√2/2 ≒ −0.7071
135°は第2象限：cosは負になります。
135°の参照角は180° − 135° ＝ 45°であり、cos45° ＝ √2/2に対して第2象限の符号（負）を適用します。
cos135°の計算手順：
参照角 ＝ 180° − 135° ＝ 45°
第2象限 → cosは負
cos135° ＝ −cos45° ＝ −√2/2
補角の公式でcos135度を求める
補角の公式「cos(180° − θ) ＝ −cosθ」に θ ＝ 45°を代入します。
cos(180° − 45°) ＝ −cos45°
cos135° ＝ −√2/2
補角の公式は第2象限の問題を解く際に最も直感的に使える公式のひとつです。
「180°から引いた角度のcos」はマイナスになると覚えておくと便利でしょう。
単位円でcos135度を確認する
単位円上でθ ＝ 135°の点は(−√2/2, √2/2)となります。
x座標がcos135° ＝ −√2/2に対応しており、負の値であることが視覚的にも確認できます。
この点はθ ＝ 45°の点(√2/2, √2/2)とy軸を挟んで対称な位置にあります。
cos135度の覚え方のコツ
cos135°を確実に覚えるには「135 ＝ 180 − 45」と分解し、45°（π/4）のcos値√2/2に負の符号をつけると覚えるのが最も効果的です。
また「135°は45°の補角であり、cosは符号反転」という言葉で覚えるのも良い方法でしょう。
補角のcosはマイナスという原則をしっかり定着させてください。
cos135度と関連する三角関数の値
続いてはcos135度に関連する三角関数の値を確認していきます。
135度のsin・cos・tanの値一覧
| 関数 | 値 | 導き方 |
|---|---|---|
| cos135° | −√2/2 | −cos45° |
| sin135° | √2/2 | sin45°（第2象限：sin正） |
| tan135° | −1 | sin/cos ＝ (√2/2)/(−√2/2) |
sin135° ＝ sin45° ＝ √2/2と正の値になる点に注意が必要です。
第2象限ではsinのみが正であり、cos・tanは負という関係をしっかり確認しておきましょう。
cos135度を含む計算問題の解き方
例題：cos135° × sin135° ＝ ？
cos135° ＝ −√2/2、sin135° ＝ √2/2
(−√2/2) × (√2/2) ＝ −2/4 ＝ −1/2
このような積の計算も、各値を確実に覚えていれば素早く処理できます。
cos135度と倍角公式を使った確認
cos(2 × 67.5°) ＝ 2cos²67.5° − 1 を検算として使う方法もありますが、
より簡単な確認は倍角公式でcos(2 × 135°) ＝ cos270° ＝ 0を利用する方法です。
2cos²135° − 1 ＝ 2 × (√2/2)² − 1 ＝ 2 × 1/2 − 1 ＝ 0 ✓
倍角公式を使った検算で値の正しさが確認できると、より自信を持って答えられるようになるでしょう。
cos135度の実践的な応用
続いてはcos135度が登場する実践的な場面を確認していきます。
三角形の余弦定理でのcos135度の活用
余弦定理「c² ＝ a² + b² − 2ab cosC」において、角Cが135°になるケースがあります。
例：a ＝ 2、b ＝ 3、C ＝ 135°のとき
c² ＝ 4 + 9 − 2×2×3×cos135°
＝ 13 − 12×(−√2/2) ＝ 13 + 6√2
この場合cos135°が負の値であるため、計算式の符号が変化する点がポイントです。
cos135度の位置づけと他の特殊角との関係
| 角度 | cos値 | sin値 |
|---|---|---|
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 135° | −√2/2 | √2/2 |
| 225° | −√2/2 | −√2/2 |
| 315° | √2/2 | −√2/2 |
45°の倍数における三角関数の値を一覧で覚えておくと、様々な角度の問題に素早く対応できます。
cos135度を確実に定着させる学習法
cos135°を確実に覚えるためには、単に値を暗記するだけでなく導き方まで理解することが重要です。
「135°は第2象限・参照角は45°・cosは負・答えは−√2/2」というフローを頭の中で何度もシミュレーションしてみましょう。
考える過程を体で覚えることが、試験でも確実に使える知識への近道です。
まとめ
cos135°の値は−√2/2（≒−0.7071）であり、参照角45°のcos値√2/2に第2象限の負の符号を適用して求めます。
補角の公式「cos(180° − θ) ＝ −cosθ」にθ ＝ 45°を代入することで、cos135° ＝ −√2/2が導けます。
sin135° ＝ √2/2（正）、tan135° ＝ −1（負）とあわせて覚えておくと、135°に関する問題を総合的に解けるようになるでしょう。
単位円上の点(−√2/2, √2/2)を視覚的にイメージすることで、cos135°の値がより確実に定着するはずです。
