微分の学習を進めていると、cos2xの微分という形に出会う場面があります。
cos2xの微分は合成関数の微分を使うことで解くことができ、三角関数の微分の中でも基本的な形として知られています。
この記事では、cos2xの微分公式の内容とその証明方法、さらに不定積分や定積分との関係についても合わせて解説していきます。
cos2xの微分の公式は－2sin2x
それではまず、cos2xの微分の公式について解説していきます。
cos2xを微分すると、次のような結果が得られます。
d/dx(cos2x)＝－2sin2x
－2sin2xという形は、cosxの微分公式に合成関数の微分を組み合わせることで導き出すことができます。
係数の2が外側に現れる点と、符号がマイナスになる点が重要なポイントです。
cosxの微分がマイナスsinxになることを忘れずに、しっかりと意識しておきましょう。
公式の証明：合成関数の微分を使った方法
cos2xの微分の証明は、合成関数の微分法を使うことでシンプルに導くことができます。
cosxの微分公式：d/dx(cosx)＝－sinx
cos2xはcosuのu＝2xとおいた合成関数です。
合成関数の微分より、
d/dx(cos2x)＝d/du(cosu)×d/dx(2x)
＝－sinu×2
u＝2xを代入すると、＝－sin2x×2＝－2sin2x
証明のポイントは、外側の微分と内側の微分をかけ合わせる合成関数の微分の手順を正確に追うことです。
u＝2xとおくことで、cosuの微分公式をそのまま活用できる形に変形できます。
微分の定義を使った証明
より厳密な証明として、微分の定義から導く方法もあります。
d/dx(cos2x)＝lim[h→0](cos2(x＋h)－cos2x)/h
加法定理より cos2(x＋h)＝cos(2x＋2h)＝cos2x・cos2h－sin2x・sin2h
よって (cos2x・cos2h－sin2x・sin2h－cos2x)/h
＝cos2x・(cos2h－1)/h－sin2x・sin2h/h
h→0のとき (cos2h－1)/h→0、sin2h/h→2より、
d/dx(cos2x)＝cos2x・0－sin2x・2＝－2sin2x
微分の定義を使った証明では加法定理と極限の性質が重要な役割を果たします。
この証明の流れを理解しておくと、三角関数の微分への理解が一段と深まるでしょう。
cosxの微分との対比で覚える
cosxの微分とcos2xの微分を対比させて覚えると、記憶に定着しやすいです。
| 関数 | 微分結果 | 係数の影響 |
|---|---|---|
| cosx | －sinx | 係数なし |
| cos2x | －2sin2x | 2倍 |
| cos3x | －3sin3x | 3倍 |
| cos(ax) | －asin(ax) | a倍 |
表から、引数の係数aが微分結果の係数として現れるというパターンが見えてきます。
このパターンを把握しておくと、どんな係数がついても素早く微分を求めることができるでしょう。
cos2xの微分と積分の関係を整理しよう
続いては、cos2xの微分と積分の関係について確認していきます。
微分と積分は逆の操作であるため、cos2xの微分結果を逆向きに使うことで積分公式も導き出すことができます。
微分から積分公式を導く
cos2xの微分結果を逆向きに使うことで、積分公式を確認することができます。
d/dx((1/2)sin2x)＝(1/2)・cos2x・2＝cos2x
よって ∫cos2x dx＝(1/2)sin2x＋C
また d/dx(cos2x)＝－2sin2xより、
∫sin2x dx＝－(1/2)cos2x＋C
微分と積分の逆関係を意識することで、一方の公式から他方を導き出すことができます。
この関係を理解しておくと、公式を忘れた際にも自分で導き直すことができるでしょう。
cos2xの不定積分の公式
cos2xの不定積分の公式を改めて確認しておきましょう。
∫cos2x dx＝(1/2)sin2x＋C（Cは積分定数）
微分の係数2が積分では分母の1/2として現れる対称的な構造を意識して覚えましょう。
微分では係数がかけ算になり、積分では係数が割り算になるという関係は、cos(ax)の形全般に共通しています。
よくある間違いと注意点
cos2xの微分では、いくつかの典型的なミスが見られます。
まず、内側の微分（2xの微分＝2）をかけ忘れて－sin2xと答えてしまうケースがあります。
合成関数の微分では内側の微分を必ずかけることを、しっかりと意識してください。
また、符号のマイナスを忘れて2sin2xと答えてしまうミスも多いため、cosxの微分に必ずマイナスが付くことを確認しましょう。
cos2xの定積分の例題で理解を深めよう
続いては、実際の例題を通じてcos2xの微分と定積分の解き方を確認していきます。
例題①：基本的な微分
問題：d/dx(cos2x)を求めよ。
解答：合成関数の微分より、
d/dx(cos2x)＝－sin2x×2＝－2sin2x
この問題は公式をそのまま当てはめるだけで解くことができます。
符号のマイナスと係数2を忘れずに記載しましょう。
例題②：定積分への応用
問題：∫[0→π/4]cos2x dx を求めよ。
∫cos2x dx＝(1/2)sin2xより、
[(1/2)sin2x]のx＝0からx＝π/4までを計算します。
(1/2)sin(π/2)－(1/2)sin0＝(1/2)・1－(1/2)・0＝1/2
定積分では不定積分の結果に上端と下端の値を代入して差を求めます。
sin(π/2)＝1、sin0＝0であることを覚えておくと、計算がスムーズです。
例題③：積の微分との組み合わせ
問題：d/dx(x・cos2x)を求めよ。
f＝x → f’＝1
g＝cos2x → g’＝－2sin2x
d/dx(x・cos2x)＝1・cos2x＋x・(－2sin2x)＝cos2x－2xsin2x
この結果はcos2x－2xsin2xとなり、2つの項の差として表されます。
積の微分と合成関数の微分を組み合わせることで、より複雑な問題にも対応できるでしょう。
まとめ
この記事では、cos2xの微分の公式と証明、不定積分・定積分との関係について解説しました。
cos2xの微分結果は－2sin2xであり、cosxの微分公式に合成関数の微分を組み合わせることで導くことができます。
引数の係数aが微分結果の係数として現れるというパターンを把握しておくと、cos(ax)の形の微分全般に対応できるでしょう。
微分と積分は逆の操作であるため、cos2xの微分結果から積分公式を導き直すことができる点も重要です。
公式の意味と証明の流れをしっかり理解した上で、さまざまな問題に挑戦してみてください。
