ダルシー・ワイスバッハの式と摩擦係数の関係は？求め方や公式も！（コルブルック式：ムーディ線図：層流・乱流の違いなど）

配管内を水や空気、油などの流体が流れると、管壁との摩擦によって圧力が少しずつ失われます。

この圧力損失を計算する代表的な手法が、ダルシー・ワイスバッハの式です。

ポンプの選定、配管径の設計、送水能力の確認では、摩擦係数を正しく求められるかどうかが結果を大きく左右します。

本記事では、ダルシー・ワイスバッハの式の公式、摩擦係数との関係、レイノルズ数、コルブルック式、ムーディ線図の読み方まで、計算の流れに沿って詳しく解説します。

ダルシー・ワイスバッハの式の基本関係

それではまずダルシー・ワイスバッハの式と摩擦係数の関係について解説していきます。

圧力損失を表す公式

ダルシー・ワイスバッハの式は、円管内の流れで発生する沿程損失を求めるための基本式です。

沿程損失とは、流体が管の長さ方向へ進む間に、管壁との摩擦によって失うエネルギーを指します。

h_fは損失水頭、λは管摩擦係数、Lは管長、Dは管内径、vは平均流速、gは重力加速度です。

圧力損失で扱う場合は、流体密度ρを用いて表します。

式を見ると分かるように、圧力損失は管長に比例し、管径に反比例します。

さらに流速は二乗で効くため、流量を少し増やしただけでも損失が急に大きくなることがあります。

摩擦係数が担う役割

λで表される摩擦係数は、流体と配管内面との摩擦の強さを無次元数で示した値です。

同じ長さ、同じ管径、同じ流速であっても、摩擦係数が変われば圧力損失も比例して変化します。

ダルシー・ワイスバッハの式では、摩擦係数が計算精度の中心になります。

ただし、摩擦係数は材料名だけで決まる値ではありません。

流れが層流か乱流か、流体の粘度はどの程度か、管内面が滑らかか粗いかによって変わります。

そのため、単に経験値を代入するのではなく、流動条件を確認したうえで求めることが重要です。

実務で確認したい単位と前提

計算前には、単位系をそろえる必要があります。

SI単位系では、管長と管径をm、流速をm毎秒、密度をkg毎立方メートル、圧力をPaで扱うと整理しやすいでしょう。

記号	意味	主な単位	注意点
λ	ダルシー摩擦係数	無次元	ファニング摩擦係数とは値が異なります
L	配管長	m	直管部分の実長を用います
D	管内径	m	呼び径ではなく実内径を確認します
v	平均流速	m毎秒	流量から断面積で計算します
ρ	流体密度	kg毎立方メートル	温度によって変化します

配管部品の抵抗、バルブ、エルボ、急拡大や急縮小による損失は、直管の沿程損失とは別に扱います。

配管系全体を設計する際には、両者を合算する考え方が必要です。

流量と流速から進める計算手順

続いては、ダルシー・ワイスバッハの式を使う計算手順を確認していきます。

流量から平均流速を求める方法

流量Qが分かっている場合、まず管内の平均流速vを算出します。

Aは管の断面積です。

たとえば内径50mmの管に毎分0.3立方メートルの水が流れる条件では、流量を毎秒単位へ換算してから断面積で割ります。

内径50mmは0.05m、流量0.3立方メートル毎分は0.005立方メートル毎秒です。

断面積は約0.00196平方メートルとなるため、平均流速は約2.55m毎秒と計算できます。

呼び径と内径を混同すると、流速の二乗項まで連鎖して誤差が拡大するため注意が必要です。

レイノルズ数による流れの分類

平均流速を求めたら、次にレイノルズ数を計算します。

レイノルズ数は、流れにおける慣性力と粘性力の比を示す無次元数です。

νは動粘度、μは粘度です。

円管内の流れでは、一般にレイノルズ数が約2300以下なら層流、約4000以上なら乱流として扱われます。

2300から4000付近は遷移領域と呼ばれ、流れの状態が不安定になりやすい範囲です。

遷移領域では単純な近似式だけに頼らず、運転条件の変動や安全側の見込みも踏まえて評価すると安心です。

損失水頭と圧力損失への換算

摩擦係数が得られれば、ダルシー・ワイスバッハの式へ値を代入して損失水頭を計算できます。

水のような液体配管では、損失水頭をmで扱うことが多く、ポンプ揚程との比較もしやすくなります。

一方で、空気やガスの配管では圧力損失PaやkPaでの把握が必要になる場面が多いでしょう。

なお、気体では圧力低下に伴って密度が変わるため、大きな圧力損失が生じる条件では圧縮性を考慮した計算が求められます。

層流と乱流における摩擦係数

続いては、層流と乱流で変わる摩擦係数の求め方を確認していきます。

層流で使うハーゲン・ポアズイユの関係

層流では、流体が管軸にほぼ平行な層状の流れを保ちます。

管壁の近くほど遅く、中心ほど速い滑らかな速度分布になる点が特徴です。

円管内の十分に発達した層流では、ダルシー摩擦係数λは次式で求められます。

この式から、レイノルズ数が大きくなるほど層流の摩擦係数は小さくなると分かります。

表面粗さの影響は層流では比較的小さく、主に粘度、流速、管径によって決まります。

層流の摩擦係数は粗さではなくレイノルズ数で決まるという点は、乱流との重要な違いです。

乱流で増える粗さの影響

乱流では流体の内部に不規則な渦が生じ、混合が強くなります。

流速分布は層流より平坦に近づく一方、壁面近くのせん断によるエネルギー損失は大きくなります。

乱流域の摩擦係数は、レイノルズ数だけでは決まりません。

配管内面の絶対粗さεと管内径Dの比である相対粗さε÷Dも、計算に影響します。

新品の引抜鋼管、樹脂管、ステンレス鋼管、長年使用した鋼管では、内面状態が異なるため摩擦係数も変わります。

特に腐食、スケール、付着物がある既設配管では、カタログ上の粗さより損失が大きくなる可能性があります。

遷移領域での実務的な扱い

レイノルズ数が2300から4000程度の範囲では、層流と乱流が切り替わる遷移状態となります。

振動、配管入口の乱れ、バルブの位置、脈動などにより、同じ平均流速でも流れの様子が変化します。

この領域で64÷Reをそのまま適用すると、実際の圧力損失を小さく見積もるおそれがあります。

粘性の高い油、低流量の冷却水、細いチューブ配管では、層流または遷移領域に入りやすくなります。

コルブルック式とムーディ線図の活用

続いては、乱流域で用いるコルブルック式とムーディ線図を確認していきます。

コルブルック式の考え方

コルブルック式は、乱流における摩擦係数を、レイノルズ数と相対粗さから求める代表的な関係式です。

この式では、右辺にも左辺にも摩擦係数λが含まれています。

そのため、電卓で一度に解くよりも、初期値を置いて繰り返し計算する反復法や、表計算ソフトの目標値検索を使う方法が一般的です。

流体計算ソフトでは自動処理されることもありますが、入力値の意味を理解しておくと結果の妥当性を確認しやすくなります。

コルブルック式は滑らかな管から粗い管まで幅広い乱流条件に対応できる点が大きな利点です。

近似式による迅速な計算

反復計算を避けたい場合には、コルブルック式を近似した明示式を利用できます。

代表例として、スワミー・ジェイン式やハーランド式が知られています。

たとえばハーランド式では、摩擦係数を直接計算できる形へ近似します。

設計段階の概算や計算シートの作成では、このような近似式が役立ちます。

ただし、高精度が必要な設備設計、特殊な流体、極端な粗さを持つ配管では、適用範囲と誤差を確認することが欠かせません。

ムーディ線図の読み方

ムーディ線図は、横軸にレイノルズ数、縦軸にダルシー摩擦係数を取り、相対粗さごとの曲線を示した図です。

まず横軸上でレイノルズ数を探し、該当する相対粗さの曲線との交点を確認します。

その交点の縦軸値が、求めたい摩擦係数です。

確認順序	確認内容	見落としやすい点
一	流速と物性値からレイノルズ数を計算	粘度の温度条件を合わせます
二	絶対粗さを管内径で割り相対粗さを算出	粗さと内径の単位をそろえます
三	ムーディ線図上で交点を読む	対数目盛の読み違いに注意します
四	得たλを損失式へ代入	ダルシー係数か確認します

ムーディ線図は計算結果の妥当性を目で確認できるため、学習時だけでなく設計レビューでも便利です。

配管粗さと局部損失の設計要素

続いては、実際の配管設計で見逃せない粗さと局部損失について確認していきます。

絶対粗さと相対粗さの違い

絶対粗さεは、配管内面の凹凸の代表的な高さを表す値です。

単位はmmやmで表され、同じ材質でも製造方法、腐食状態、ライニングの有無によって変わります。

一方の相対粗さε÷Dは、絶対粗さを管内径で割った無次元数です。

同じ絶対粗さでも、細い配管ほど相対粗さが大きくなります。

つまり、内面の小さな凹凸でも小口径管では流れに与える影響が相対的に大きくなります。

粗さを評価するときは絶対値ではなく管径との比を見ることが重要です。

エルボやバルブによる局部損失

配管の圧力損失は、直管部の摩擦だけで発生するわけではありません。

エルボ、ティー、レジューサー、バルブ、ストレーナー、入口、出口などでは、流れの向きや断面が急に変わります。

このとき発生する損失を局部損失と呼びます。

配管が短くても継手やバルブが多ければ、局部損失が沿程損失を上回る場合があります。

特に小規模な装置配管、分岐の多い設備、流速の高いラインでは、各部品の損失係数を積み上げて確認する必要があります。

等価管長による簡易評価

局部損失を直管換算して扱う方法として、等価管長法があります。

これは、エルボやバルブが持つ損失を、何m分の直管摩擦に相当するかという形で置き換える方法です。

初期検討では便利ですが、摩擦係数や流速により換算値が変わるため、詳細設計では損失係数法と照合するとよいでしょう。

配管長だけを見て圧力損失を判断しないことが、実務上の大切なポイントです。

ダルシー・ワイスバッハの式のまとめ

ダルシー・ワイスバッハの式は、配管内を流れる流体の摩擦損失を、管長、管径、流速、密度、摩擦係数から求める基本式です。

圧力損失は流速の二乗に比例するため、流量増加時には配管径とポンプ能力をあわせて検討する必要があります。

摩擦係数は、層流ではレイノルズ数から64÷Reで求められます。

乱流ではレイノルズ数に加え、配管粗さと内径の比である相対粗さが影響するため、コルブルック式、近似式、ムーディ線図を活用します。

層流か乱流かをレイノルズ数で判定することが、正しい公式選びの出発点です。

さらに実際の配管系では、エルボやバルブによる局部損失も無視できません。

直管の摩擦損失と局部損失を合算し、流体温度、粘度、配管の内径、経年劣化による粗さまで確認すれば、より信頼性の高い圧力損失計算につながるでしょう。