「第1象限ってどこのこと？」と疑問に思ったことはないでしょうか。
座標平面を学ぶ際に最初に登場するのが第1象限であり、グラフの読み取りや関数の性質理解の基礎となります。
本記事では、第1象限の意味と数学での位置を、座標の特徴・グラフとの関係・x軸とy軸との位置関係とともに丁寧に解説していきます。
第1象限はx座標もy座標もともに正の領域（結論）
それではまず、第1象限の定義と基本的な意味について結論から解説していきます。
第1象限とは、座標平面においてx座標（横軸）が正かつy座標（縦軸）も正の領域です。
つまり x＞0 かつ y＞0 という条件を満たすすべての点が第1象限に属します。
座標平面上では右上の領域に位置しており、日常的に最も目にしやすい象限と言えるでしょう。
なお、x軸（y＝0）やy軸（x＝0）上の点は第1象限には含まれません。
第1象限の座標の特徴
第1象限内のすべての点（x，y）について x＞0 かつ y＞0 が成立します。
例えば（3，5）・（0.5，2.1）・（100，0.01）はすべて第1象限の点です。
反対に（0，5）はy軸上、（3，0）はx軸上の点であり、いずれの象限にも属しません。
第1象限の点は「どちらの座標も正」という最もシンプルな特徴を持ちます。
第1象限とグラフの関係
さまざまな関数のグラフが第1象限を通るかどうかを確認しておきましょう。
y＝x²は第1象限と第2象限に広がり、x≠0でy＞0の点を多く含みます。
y＝xは第1象限と第3象限を通る直線です。
y＝√x は定義域がx≧0であり、x＞0のとき第1象限にグラフが位置します。
三角関数と第1象限
三角関数において、角θが第1象限（0＜θ＜π/2）にあるとき、sin θ・cos θ・tan θのすべてが正の値をとります。
これは第1象限の点の座標がともに正であることから直接導かれる性質です。
三角関数の各象限での符号を覚える際、第1象限は「すべて正」という最も覚えやすいケースです。
第1象限の数学的な応用
続いては、第1象限が数学的に重要な役割を果たす場面について確認していきます。
不等式と第1象限
連立不等式 x＞0 かつ y＞0 の解領域は第1象限そのものです。
この領域は線形計画法（目的関数の最大化・最小化問題）において制約条件として頻繁に登場します。
例えば「生産量は非負の数」という物理的制約を数学的に表現すると、解は第1象限（またはx軸・y軸を含む場合は x≧0 かつ y≧0 の領域）に限定されます。
指数関数・対数関数と第1象限
y＝eˣ のグラフは定義域が全実数ですが、値域は常にy＞0であり、x＞0の部分（x軸の右側）は第1象限に位置します。
y＝log x のグラフは定義域がx＞0であり、y＞0の部分（x＞1のとき）が第1象限に含まれます。
これらの関数のグラフを描く際、第1象限での挙動を把握することは特に重要です。
複素数平面との関係
複素数平面（ガウス平面）では、実部（Re）が正かつ虚部（Im）が正の複素数が第1象限に位置します。
偏角（複素数の表す角度）が 0＜θ＜π/2 であるとき、その複素数は第1象限に属します。
複素数の極形式や偏角の計算において、第1象限に属する複素数の扱いは最も基本的なケースとなっています。
| 象限 | x座標 | y座標 | 三角関数の符号 |
|---|---|---|---|
| 第1象限 | 正（＋） | 正（＋） | sin・cos・tan すべて正 |
| 第2象限 | 負（−） | 正（＋） | sin のみ正 |
| 第3象限 | 負（−） | 負（−） | tan のみ正 |
| 第4象限 | 正（＋） | 負（−） | cos のみ正 |
第1象限はx＞0かつy＞0の領域（座標平面の右上）です。三角関数ではすべての関数（sin・cos・tan）が正の値をとります。不等式の解領域・指数関数・対数関数・複素数平面など、さまざまな数学分野で第1象限の概念が活用されます。
まとめ
本記事では、第1象限の意味・座標の特徴・グラフとの関係・三角関数との関係・数学的な応用について解説しました。
第1象限は「x座標もy座標もともに正」という最もシンプルな特徴を持つ象限であり、数学のさまざまな分野で登場する基礎概念です。
4つの象限の中で最も基本となる第1象限の性質をしっかりと理解して、座標平面全体への理解につなげていただければ幸いです。
