三角関数の学習において、各象限での符号を正確に把握することは非常に重要です。
第四象限はx座標が正・y座標が負の領域であり、cosθだけが正になるという特徴的な象限です。
この記事では、第四象限の意味・sin・cos・tanの符号・ASTCの覚え方をわかりやすく解説します。
参照角を使った計算方法についても説明しますので、ぜひ参考にしてください。
第四象限とは何か？意味と定義をわかりやすく解説
それではまず、第四象限の意味と定義について解説していきます。
第四象限とは、座標平面においてx座標が正（プラス）・y座標が負（マイナス）の領域のことです。
座標平面の右下の領域が第四象限にあたり、角度でいうと270°より大きく360°未満（3π/2＜θ＜2π）の範囲、または負の角度（−90°＜θ＜0°）に対応します。
第四象限では単位円上の点P(cosθ, sinθ)のx座標はプラス、y座標はマイナスになります。
第四象限と第一象限の対称性
第四象限（右下）と第二象限（左上）はx軸に関して対称な位置関係にあります。
また第四象限の角θと−θ（負の角度）は同じ位置の角を表すため、第四象限での計算には負の角度の概念も関係してきます。
第四象限では「cosは正・sinは負」という関係が、x軸に対する反射の対称性から理解できます。
代表的な第四象限の角度
第四象限に位置する代表的な角度は次のとおりです。
300°（5π/3）・315°（7π/4）・330°（11π/6）などが典型的な第四象限の角度であり、試験でも頻出です。
第四象限でのsin・cos・tanの符号を解説
続いては、第四象限でのsin・cos・tanの符号を確認していきます。
第四象限（270°＜θ＜360°）での三角関数の符号
sin θ ＜ 0（負）← y座標が負
cos θ ＞ 0（正）← x座標が正
tan θ ＜ 0（負）← 負÷正＝負
符号の理由を単位円で確認
単位円上の点が第四象限にある場合、x座標（cosθ）は正・y座標（sinθ）は負です。
tanθ＝sinθ/cosθ＝（負）/（正）＝負となります。
第四象限はASTCの「C」に対応しており、cosθだけが正になる象限です。
代表的な角度での値一覧
| 角度 | sinθ | cosθ | tanθ |
|---|---|---|---|
| 300°（5π/3） | −√3/2 | 1/2 | −√3 |
| 315°（7π/4） | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 330°（11π/6） | −1/2 | √3/2 | −1/√3 |
第四象限の角度は「360°−鋭角」の形で表せ、sinとtanにマイナスをつけてcosはそのままにすれば値が求められます。
ASTCの覚え方と第四象限の位置づけ
続いては、ASTCにおける第四象限の位置づけと覚え方を確認していきます。
ASTCと第四象限の対応
ASTCの「C（Cos）」が第四象限に対応し、cosθだけが正になることを表しています。
A（All：全部正）→S（Sin：sinのみ正）→T（Tan：tanのみ正）→C（Cos：cosのみ正）という順番が第一から第四象限に対応します。
参照角を使った第四象限の計算
第四象限の参照角 α ＝ 360° − θ
例：θ＝300°のとき α＝360°−300°＝60°
sin300° ＝ −sin60° ＝ −√3/2
cos300° ＝ cos60° ＝ 1/2（cosは正なのでそのまま）
tan300° ＝ −tan60° ＝ −√3
参照角を使えば第四象限の任意の角度の三角関数の値を基本角（30°・45°・60°）から求めることができます。
まとめ
この記事では、第四象限の意味・sin・cos・tanの符号・ASTCの覚え方について解説しました。
第四象限（270°〜360°）ではcosθのみが正であり、sinθとtanθは負になります。
ASTCの「C」が第四象限に対応し、参照角「360°−θ」を使って各三角関数の値を求めることができます。
各象限での符号の違いを正確に把握して、三角関数の問題を自信を持って解けるようにしましょう。
