三角関数の積分の中でも、1/sinxの積分はやや難易度が高く、変形の工夫が必要な形として知られています。
公式を丸暗記するだけでなく、証明の流れを理解しておくことで、応用問題にも対応できる力が身につきます。
この記事では、1/sinxの積分公式とその証明、置換積分を用いた解き方、具体的なやり方まで丁寧に解説していきます。
1/sinxの積分の公式はlog|tan(x/2)|＋C
それではまず、1/sinxの積分の公式について解説していきます。
∫(1/sinx)dx＝log|tan(x/2)|＋C（Cは積分定数）
log|tan(x/2)|という形は一見複雑に見えますが、半角置換を使うことで自然に導き出すことができます。
1/sinxはcscxとも表記されるため、∫cscx dx＝log|tan(x/2)|＋Cという形で参考書に掲載されていることもあります。
公式の形をしっかり覚えた上で、証明の流れも確認しておきましょう。
公式の証明：分子分母にsinxをかける方法
1/sinxの積分の証明は、分子分母に工夫を加えることで導くことができます。
∫(1/sinx)dxの分子分母にsinxをかけます。
∫(1/sinx)dx＝∫(sinx/sin²x)dx＝∫(sinx/(1－cos²x))dx
ここでt＝cosxとおくと dt＝－sinx dx より sinx dx＝－dt
∫(sinx/(1－cos²x))dx＝∫(－dt/(1－t²))＝∫(dt/(t²－1))
部分分数分解より、1/(t²－1)＝(1/2)・(1/(t－1)－1/(t＋1))
積分すると (1/2)log|(t－1)/(t＋1)|＋C＝(1/2)log|(cosx－1)/(cosx＋1)|＋C
これを変形すると log|tan(x/2)|＋C が得られます。
証明の中でsin²x＝1－cos²xという恒等式を使っているのがポイントです。
部分分数分解の手順を丁寧に追うことで、公式の形が自然に導き出せるでしょう。
半角置換を使った証明
もう一つの証明方法として、t＝tan(x/2)とおく半角置換があります。
t＝tan(x/2)とおくと、sinx＝2t/(1＋t²)、dx＝2/(1＋t²)dt
∫(1/sinx)dx＝∫(1＋t²)/(2t)×2/(1＋t²)dt
＝∫(1/t)dt＝log|t|＋C＝log|tan(x/2)|＋C
半角置換を使うと計算が非常にシンプルになり、∫(1/t)dt＝log|t|＋Cという基本公式に帰着します。
この方法は1/sinxの積分の中で最もエレガントな証明といえるでしょう。
1/sinxと1/cosxの公式を対比で覚える
1/sinxと1/cosxの積分公式はセットで覚えておくと便利です。
| 被積分関数 | 積分結果 | 別表記 |
|---|---|---|
| 1/sinx | log|tan(x/2)|＋C | ∫cscx dx |
| 1/cosx | log|tanx＋1/cosx|＋C | ∫secx dx |
どちらも対数関数を含む形ですが、引数の形が異なる点に注意が必要です。
混同しやすいため、それぞれの証明の流れとセットで覚えるようにしましょう。
1/sinxの積分のやり方を整理しよう
続いては、1/sinxの積分の具体的なやり方について整理していきます。
基本的な解き方の手順
1/sinxの積分を解く際の基本的な手順を確認しましょう。
① 被積分関数が1/sinxの形になっているか確認する。
② 公式 ∫(1/sinx)dx＝log|tan(x/2)|＋C をそのまま適用する。
③ 積分定数Cを忘れずに付ける。
公式を正確に覚えていれば、3ステップで解答することができます。
log内の絶対値と積分定数を忘れずに記載することが大切です。
引数に定数がある場合のやり方
1/sin(2x)のように引数に定数がある場合は、置換積分を使って対応します。
∫(1/sin(2x))dx を求めよ。
u＝2xとおくと du＝2dx より dx＝du/2
∫(1/sin(2x))dx＝(1/2)∫(1/sinu)du＝(1/2)log|tan(u/2)|＋C
＝(1/2)log|tan(x)|＋C
u＝2xとおくとu/2＝xとなるため、tan(u/2)＝tan(x)と置き換えられます。
最後に変数をもとに戻す手順を丁寧に行いましょう。
部分分数分解を使ったやり方の補足
証明の中で登場した部分分数分解は、積分の計算でよく使われる重要な手法です。
1/(t²－1)を(1/2)・(1/(t－1)－1/(t＋1))に分解する手順を確認しましょう。
1/(t²－1)＝A/(t－1)＋B/(t＋1)とおいて両辺にt²－1をかけると、
1＝A(t＋1)＋B(t－1)
t＝1を代入：1＝2A より A＝1/2
t＝－1を代入：1＝－2B より B＝－1/2
よって 1/(t²－1)＝(1/2)・(1/(t－1)－1/(t＋1))
部分分数分解は分母に積の形がある積分で非常に有効な手法です。
この手順を習得しておくと、さまざまな積分問題に応用できるでしょう。
1/sinxの積分の例題で理解を深めよう
続いては、実際の例題を通じて1/sinxの積分の解き方を確認していきます。
例題①：基本的な不定積分
問題：∫(1/sinx)dx を求めよ。
解答：公式を直接適用して、
∫(1/sinx)dx＝log|tan(x/2)|＋C
この問題は公式をそのまま当てはめるだけで解くことができます。
log内の絶対値と積分定数Cを忘れずに記載しましょう。
例題②：cosx/sinxの積分との比較
問題：∫(cosx/sinx)dx を求めよ。
t＝sinxとおくと dt＝cosx dx
∫(cosx/sinx)dx＝∫(1/t)dt＝log|t|＋C＝log|sinx|＋C
cosx/sinxの積分はt＝sinxとおく置換積分でシンプルに解くことができます。
1/sinxの積分とは異なる結果になることを確認しておきましょう。
例題③：定積分への応用
問題：∫[π/6→π/2](1/sinx)dx を求めよ。
∫(1/sinx)dx＝log|tan(x/2)|より、
[log|tan(x/2)|]のx＝π/6からx＝π/2までを計算します。
log|tan(π/4)|－log|tan(π/12)|＝log1－log|tan(π/12)|＝－log|tan(π/12)|
定積分では不定積分の結果に上端と下端の値を代入して差を求めます。
tan(π/4)＝1よりlog1＝0になることがポイントです。
まとめ
この記事では、1/sinxの積分公式と証明、置換積分を使ったやり方、例題について解説しました。
公式は∫(1/sinx)dx＝log|tan(x/2)|＋Cであり、半角置換または部分分数分解を使った置換積分によって証明できます。
1/cosxの積分公式と対比させて覚えておくと、混同を防ぐことができるでしょう。
引数に定数がある場合や他の三角関数との組み合わせでも、基本公式と置換積分を組み合わせれば対応できます。
証明の流れとやり方をセットで理解した上で、さまざまな問題に取り組んでみてください。
