1/x²の積分は？計算方法や公式も解説！（不定積分：置換積分：計算例など）

1/x²の積分は？計算方法や公式も解説！（不定積分：置換積分：計算例など）

1/x²の積分は、微分積分を学び始めたときに基本として押さえたい計算です。

分数の形になっているため難しく見えるかもしれませんが、指数を使って書き換えると、べき乗の積分公式をそのまま使えます。

ただし、1/xの積分と混同すると答えを誤りやすいため、指数と定数項の扱いを丁寧に確認することが大切です。

1/x²の積分の答えと基本公式

それではまず1/x²の積分の答えと基本公式について解説していきます。

1/x²を指数で表す方法

1/x²は、分母にxの2乗がある分数です。

積分を計算しやすくするには、分数の形を負の指数を使ったべき乗の形へ直します。

指数がマイナスになると、分母へ移動するという関係を表せます。

x⁻¹は1/x、x⁻²は1/x²、x⁻³は1/x³という対応です。

この変形を先に行うと、積分公式へ自然につなげられます。

不定積分の計算結果

x⁻²を積分すると、指数に1を加えます。

次に、加えた後の指数で係数を割ることが基本ルールです。

したがって、1/x²の不定積分は－1/x＋Cとなります。

Cは積分定数であり、微分すると消える任意の定数です。

不定積分では、このCを書き忘れないようにしましょう。

微分による答え合わせ

積分の答えに不安があるときは、微分して元の関数へ戻るか確かめる方法が便利です。

－1/xは－x⁻¹と書けるため、微分すると次のようになります。

元の関数である1/x²に戻るため、計算結果が正しいと確認できます。

べき乗の積分公式と適用条件

続いてはべき乗の積分公式と適用条件を確認していきます。

指数関数ではないべき乗の公式

xのn乗を積分する場合には、次の公式を利用します。

この公式は、nが整数である場合だけでなく、分数や小数の場合にも広く使えます。

たとえばx²、x⁵、x⁻²、x^(1/2)などが対象です。

1/x²はx⁻²なので、nへ－2を代入すれば求められます。

指数を1つ増やすという操作だけを見るのではなく、増えた指数で割ることまでを一組として覚えるとよいでしょう。

nが－1の場合だけ異なる理由

べき乗の積分公式には、nが－1ではないという条件があります。

これは、nへ－1を入れると分母のn＋1が0となり、計算できなくなるためです。

x⁻¹は1/xなので、積分結果は別の公式で求めます。

見た目が似ていても、xの指数が－1か－2かによって積分結果は大きく変わります。

分母のxに2乗が付いているかどうかを、式の最初で必ず確認してください。

公式へ代入する具体的な手順

1/x²の積分へ公式を適用する手順は、次の表に整理できます。

手順	計算内容	確認する点
1	1/x²をx⁻²へ変形	分母の指数は負になる
2	n＝－2を確認	nは－1ではない
3	指数へ1を加える	－2＋1＝－1
4	－1で割る	符号がマイナスになる
5	x⁻¹を1/xへ戻す	積分定数Cを加える

途中でx⁻¹のまま答えても数学的には正しい表現です。

ただし、－1/x＋Cと書くほうが、分数の問題では見慣れた形となるでしょう。

不定積分における積分定数の扱い

続いては不定積分における積分定数の扱いを確認していきます。

積分定数Cの意味

不定積分では、答えの最後にCを付けます。

これは、微分すると0になる定数をまとめて表す記号です。

たとえば－1/x、－1/x＋3、－1/x－8は、いずれも微分すると1/x²になります。

つまり、1/x²の原始関数は1つだけではありません。

定数分だけ上下にずれた関数全体を示すために、＋Cが必要になります。

定積分ではCを書かない理由

定積分では、積分区間の上端と下端を代入して値の差を取ります。

このとき、積分定数Cは差を取る過程で相殺されます。

定積分の答えは面積や変化量に関わる具体的な数値です。

そのため、不定積分のように＋Cを付ける必要はありません。

xが0ではないという条件

1/x²は、x＝0で定義されません。

分母が0になるため、グラフではx＝0付近で値が非常に大きくなります。

原始関数である－1/xも、同じくx＝0では定義できません。

積分を扱う際は、関数の定義域と積分区間を意識することが重要です。

特に0をまたぐ定積分では、通常の定積分としてそのまま計算できない場合があります。

置換積分で現れる1/x²の形

続いては置換積分で現れる1/x²の形を確認していきます。

内側の式をuと置く考え方

単純な1/x²であれば、置換積分を使う必要はありません。

しかし、分母に一次式や複雑な式が入ると、置換積分が有効になります。

たとえば1/（3x＋1）²のような式では、分母全体を新しい文字へ置き換えます。

u＝3x＋1と置くと、du＝3dxとなります。

ここでdxをdu/3へ直すことで、xを含む式をuだけの式へ変えられます。

一次式の2乗を含む計算例

次の不定積分を考えてみましょう。

置換後のu⁻²の積分は、1/x²の場合と同じルールです。

最後には必ずuを元の3x＋1へ戻します。

置換積分ではdxの変換を忘れやすいため、duとの関係を式の近くに書く習慣が役立ちます。

合成関数の微分を見抜く視点

置換積分では、分母の中身を微分したものが分子側にあるか確認します。

たとえば、6x/（x²＋4）²のような式なら、分母の中身x²＋4の微分は2xです。

分子の6xは2xの3倍なので、定数を外へ出して置換できます。

分母が2乗で、分子にその内側の微分が含まれる形は、置換積分の代表例です。

式を見たら、分母の内側と分子の関係を探してみてください。

1/x²の積分に関する計算例と注意点

続いては1/x²の積分に関する計算例と注意点を確認していきます。

係数が付く場合の計算

分子に定数が付いている場合は、定数をそのまま前へ出して積分できます。

定数倍の積分では、係数を先に取り出すと計算が見やすくなります。

マイナスの係数があるときも同様です。

たとえば－4/x²の積分は、4/x＋Cとなります。

和と差を含む場合の計算

複数の項が足し引きされている式は、項ごとに分けて積分します。

積分の線形性により、和の積分は各項の積分の和へ分けられます。

このとき、定数項－2の積分は－2xになる点にも注意しましょう。

定数を積分しても同じ定数のままではないため、見落としやすい部分です。

よくある誤答の比較

1/x²の積分で多い誤りは、指数の処理や符号の取り違えです。

誤った考え方	誤答の例	正しい確認方法
1/xと同じと考える	log｜x｜＋C	1/x²はx⁻²として扱う
指数を1増やすだけ	x⁻¹＋C	新しい指数－1で割る
負の符号を落とす	1/x＋C	－1で割ることを確認する
積分定数を省く	－1/x	不定積分なら＋Cを書く
0を含む区間を無視する	通常の定積分として計算	不連続点の有無を調べる

答えを出した後に微分すれば、多くの計算ミスを自分で発見できます。

特に、－1/xを微分して本当に1/x²になるかを確認する方法は、短時間で実行できるでしょう。

1/x²の積分のまとめ

1/x²の積分は、まず1/x²をx⁻²へ変形して考えます。

べき乗の積分公式を使うと、答えは－1/x＋Cです。

指数を1増やした後、その指数で割るため、－1という符号が生まれます。

1/xの積分はlog｜x｜＋Cであり、1/x²とは計算方法が異なります。

係数や和が含まれる式では、定数倍と項ごとの積分を使うと整理できます。

分母が一次式や二次式になっている場合は、内側の微分に注目すると置換積分へつなげやすくなるでしょう。

また、x＝0では関数が定義されないため、定積分の範囲を確認することも欠かせません。

最後に微分で元の1/x²へ戻るか確認すれば、積分計算の正確さを高められます。