正規部分群とは？意味や定義をわかりやすく解説！（群論：剰余類：準同型写像：具体例など）

正規部分群とは？意味や定義をわかりやすく解説！（群論：剰余類：準同型写像：具体例など）

群論を学び始めると、部分群とともに重要になるのが正規部分群です。

正規部分群は剰余類を用いた新しい群の構成、準同型写像の核、商群といった話題を結び付ける中心的な考え方といえます。

記号が多く難しく見える分野ですが、定義の意味を順番に追えば、なぜ正規性が必要なのかを自然に理解できるでしょう。

この記事では、正規部分群の意味、判定方法、左剰余類と右剰余類の関係、準同型写像とのつながり、代表的な具体例までをわかりやすく整理します。

正規部分群の意味と基本的な定義

それではまず正規部分群の意味と、群論における基本的な定義について解説していきます。

部分群に加わる正規性という条件

群 G の部分集合 H が部分群であるとは、H 自身が G の演算を引き継いで群になることを指します。

たとえば整数全体の加法群 Z において、偶数全体 2Z は加法について部分群です。

しかし、すべての部分群が正規部分群になるとは限りません。

正規部分群とは、部分群 H が群 G の各元 g による共役変換で変わらない性質を持つ場合の呼び名です。

式では、すべての g∈G に対して gHg⁻¹＝H が成り立つとき、H は G の正規部分群といいます。

このとき H を G の正規部分群として、H⊲G のように表すことがあります。

正規部分群は、群の内部で位置がずれない部分群と考えると、定義のイメージをつかみやすくなります。

共役変換とは、ある元 h を ghg⁻¹ に移し替える操作です。

H に属する元をどの g で共役変換しても再び H に入るなら、H は群全体との関係で安定しているといえるでしょう。

左剰余類と右剰余類が一致する意味

正規部分群には、共役変換による定義と同じくらい重要な判定方法があります。

群 G の元 g と部分群 H に対し、gH＝｛gh｜h∈H｝を左剰余類、Hg＝｛hg｜h∈H｝を右剰余類と呼びます。

一般の部分群では、左剰余類 gH と右剰余類 Hg が異なる場合があります。

ところが H が正規部分群なら、すべての g∈G で gH＝Hg です。

逆に、すべての g について左剰余類と右剰余類が一致する部分群は正規部分群になります。

左から掛けても右から掛けても同じ集合になることが、正規性を表すもう一つの見方です。

この一致があるからこそ、剰余類の集合に対して演算を矛盾なく定められます。

つまり正規部分群は、商群を作るための条件でもあります。

可換群ではすべての部分群が正規になる理由

群 G が可換群なら、任意の元 g と h について gh＝hg が成立します。

このとき ghg⁻¹は hgg⁻¹に書き換えられ、結果は h になります。

したがって H の元 h を共役変換しても、元の h から動きません。

よって可換群の任意の部分群 H は gHg⁻¹＝H を満たし、正規部分群です。

整数の加法群 Z、剰余類の加法群 Z/nZ、実数の加法群 R などでは、部分群を見つければ正規性も自動的に得られます。

一方、置換群や行列群のように演算が可換でない群では、部分群ごとに正規性を調べる必要があります。

共役変換と剰余類による判定方法

続いては共役変換と剰余類を使い、正規部分群かどうかを調べる方法を確認していきます。

共役による直接判定

最も定義に忠実な方法は、任意の g∈G と h∈H に対して ghg⁻¹が H に入るかを確認することです。

実際の計算では、H のすべての元と G のすべての元を無作為に調べるのではなく、生成元を利用することが多くなります。

G がいくつかの元で生成され、H も生成元を持つなら、共役した生成元が H に属するかを確かめる方針が役立ちます。

有限群では元を表に並べて検査する方法も可能です。

ただし H の各元に対する結果だけでなく、共役後の集合全体が H と一致することを意識する必要があります。

片方だけの包含ではなく、集合としての不変性が正規性の本質です。

有限群なら gHg⁻¹と H は元の数が同じなので、gHg⁻¹⊆H を示せば一致が従います。

無限群では、この簡略化を使う際に条件を丁寧に確認すると安心です。

左剰余類と右剰余類による判定

剰余類を使う方法は、商群とのつながりを見たいときに特に便利です。

各 g∈G について gH と Hg を書き出し、それらが同じ集合になるかを調べます。

たとえば G が有限群で、H の左剰余類と右剰余類を比較できる程度の大きさなら、具体的な元を並べる方法が理解しやすいでしょう。

gH＝Hg がすべての g で成立するとき、元 gh は h′g と書き換えられることになります。

ここで h′は H のある元です。

この書き換え可能性が、剰余類同士を掛け合わせるときの曖昧さを取り除きます。

正規性は剰余類の積を一意に決めるための土台でもあります。

指数が小さい部分群から分かる正規性

部分群 H の指数とは、G を H の左剰余類に分けたときの剰余類の個数です。

記号では [G H] のように表されます。

とくに指数が 2 の部分群は必ず正規部分群です。

理由は、H 以外の左剰余類が一つしかなく、右剰余類についても H 以外が一つしかないためです。

g が H に属さないなら、gH も Hg も H ではない唯一の剰余類となり、一致します。

この事実は二面体群や対称群の具体例でよく使われます。

ただし指数が 3 以上なら、必ず正規になるわけではありません。

判定の視点	確認する内容	向いている場面
共役変換	gHg−1＝H	生成元や行列で扱う場合
剰余類	gH＝Hg	商群の構成を考える場合
核	H＝ker φ	準同型写像が与えられている場合
指数	[G H]＝2	有限群で素早く判定したい場合
可換性	G が可換群	加法群などの基本例

商群の構成と演算の仕組み

続いては正規部分群から作られる商群と、剰余類の演算について確認していきます。

商群を作るために正規性が必要な理由

正規部分群 H⊲G があるとき、G の H による剰余類全体の集合を G/H と表します。

この集合の元は、もとの群 G の元ではなく、gH という剰余類です。

商群では、剰余類の積を gH と kH から gkH へ対応させます。

式だけを見ると簡単ですが、ここには代表元の選び方という問題があります。

gH と同じ剰余類を別の元 g′で表し、kH も k′で表した場合に、g′k′H が gkH と一致しなければ演算は定義できません。

この問題を解決する条件が正規性です。

H が正規部分群なら、代表元を変更しても積の剰余類は変化しません。

商群は正規部分群があって初めて自然に作れる群と覚えるとよいでしょう。

整数の剰余類による商群の例

整数全体 Z を加法について考え、nZ を n の倍数全体とします。

Z は可換群なので、nZ は必ず正規部分群です。

このとき商群 Z/nZ は、整数を n で割った余りごとの集合になります。

n＝3 なら、0＋3Z、1＋3Z、2＋3Z の三つの剰余類が存在します。

たとえば 1＋3Z と 2＋3Z の和は 3＋3Z であり、これは 0＋3Z と同じ剰余類です。

普段使う合同式の計算は、商群の演算を具体的に見ていることになります。

この例では加法を使うため、積ではなく剰余類の和を考えます。

正規部分群という抽象的な用語も、余りの計算と結び付けると身近に感じられるはずです。

商群の単位元と逆元

商群 G/H の単位元は H 自身です。

もとの群の単位元を e とすると、eH＝H となるためです。

また、剰余類 gH の逆元は g⁻¹H です。

実際に gH と g⁻¹H を掛けると、gg⁻¹H＝H になります。

結合法則も、もとの群 G の結合法則から受け継がれます。

このように正規性を満たせば、剰余類の集まりは単なる分類ではなく、きちんとした群として振る舞います。

準同型写像の核との関係

続いては準同型写像の核と正規部分群がどのようにつながるのかを確認していきます。

準同型写像と核の定義

群 G から群 K への写像 φ が準同型写像であるとは、φ(ab)＝φ(a)φ(b)を満たすことです。

加法群なら φ(a＋b)＝φ(a)＋φ(b)という形になります。

準同型写像によって K の単位元へ移る G の元全体を、φ の核と呼びます。

核は ker φ と表されます。

つまり ker φ＝｛g∈G｜φ(g)＝e_K｝です。

核に含まれる元は、写像を通すと区別が消えて単位元になります。

核は準同型写像によって見えなくなる部分と考えると意味をつかみやすいでしょう。

核が必ず正規部分群になる証明

準同型写像 φの核は、常に定義域 G の正規部分群になります。

まず、核が部分群であることを確認します。

a と b が核に属するとき、φ(ab⁻¹)＝φ(a)φ(b)⁻¹です。

φ(a)と φ(b)はいずれも K の単位元なので、結果も単位元になります。

よって ab⁻¹も核に含まれます。

次に g∈G、h∈ker φ とします。

φ(ghg⁻¹)＝φ(g)φ(h)φ(g)⁻¹です。

φ(h)は単位元ですから、この値は φ(g)φ(g)⁻¹となり、単位元になります。

したがって ghg⁻¹も核に入り、核は正規部分群です。

この証明は、正規性が準同型写像と深く結び付くことを端的に示しています。

第一同型定理が伝える内容

第一同型定理は、準同型写像の像と商群を結び付ける定理です。

φが G から K への準同型写像であるとき、G/ker φ は Im φ と同型になります。

ここで Im φ は φによって実際に到達する K の元全体です。

この結果は、核で同じものとして扱った G の構造が、像の構造と一致することを意味します。

たとえば整数 Z から Z/nZ への写像で、整数を n で割った余りへ送る操作を考えます。

この写像の核は nZ であり、商群 Z/nZ が像そのものになります。

正規部分群は準同型写像で生じる同一視を記録する存在ともいえます。

群論の多くの定理で正規部分群が現れるのは、この役割があるためです。

対称群と二面体群における具体例

続いては非可換群を中心に、正規部分群の具体例を確認していきます。

対称群 S₃における交代群 A₃

S₃は三つの対象の置換全体からなる群で、元は六個あります。

この中の偶置換全体 A₃は三個の元を持つ部分群です。

A₃の指数は S₃において 2 です。

指数が 2 の部分群は必ず正規部分群なので、A₃⊲S₃が分かります。

ここで重要なのは、S₃が非可換群であっても、特別な部分群は正規になり得る点です。

偶置換か奇置換かを表す符号写像を考えると、A₃はその核になります。

核は正規部分群なので、準同型写像の視点からも同じ結論を得られます。

一つの正規性を複数の方法で確かめられることが、群論の理解を強くします。

S₃の位数 2 の部分群が正規でない理由

S₃には、一つの互換で生成される位数 2 の部分群がいくつかあります。

たとえば H＝｛e、(12)｝を考えます。

この H は部分群ですが、正規部分群ではありません。

実際に 3 サイクル (123) で (12) を共役変換すると、別の互換になります。

共役変換の結果は H に属しないため、H は共役によって保たれません。

また、H の指数は 3 であり、指数 2 の定理を利用できないことも確認できます。

この例は、部分群であるという条件だけでは商群を作れないことを示します。

正規性を省略すると、剰余類の積が代表元の選び方によって変わる問題が起こります。

二面体群における回転部分群

正 n 角形の対称性から作られる二面体群 D_nでは、回転全体が部分群をなします。

回転を r、反射を s とすると、典型的には rⁿ＝e、s²＝e、srs＝r⁻¹という関係を持ちます。

回転部分群 ⟨r⟩ は位数 n の巡回部分群です。

反射 s によって回転 r を共役変換すると r⁻¹となり、これは再び回転部分群に属します。

回転による共役変換でも回転部分群は保たれます。

したがって ⟨r⟩ は D_nの正規部分群です。

一方で、特定の一つの反射だけで作った部分群は、n の値によっては正規でないことがあります。

図形の対称性を思い浮かべると、回転全体がまとまりとして保存される理由を理解しやすいでしょう。

群	部分群	正規性	主な理由
Z	nZ	正規	Z が可換群
S3	A3	正規	指数が 2、符号写像の核
S3	｛e、(12)｝	正規でない	共役で別の互換へ移る
Dn	回転部分群 ⟨r⟩	正規	反射による共役でも回転に残る
一般の群 G	中心 Z(G)	正規	すべての元と可換

正規部分群を理解するための注意点

続いては正規部分群を学ぶ際に混同しやすい点と、理解を深める着眼点を確認していきます。

部分群と正規部分群を混同しない視点

部分群の判定では、演算について閉じていること、単位元や逆元を持つことを確認します。

正規部分群の判定では、さらに群 G の外側の元との関係を調べます。

H の内部だけを見て群になっていても、G の元で共役したときに H から外れるなら正規ではありません。

この違いは、部分群が局所的な構造を表し、正規部分群が群全体との整合性を表すと考えると整理できます。

正規性は H 単独の性質ではなく、H が G の中で持つ性質です。

同じ抽象群 H であっても、どの群 G の部分群として考えるかによって正規性は変わることがあります。

中心と正規部分群の関係

群 G の中心 Z(G)とは、G のすべての元と可換な元を集めた部分群です。

中心の元 z は任意の g に対して gz＝zg を満たします。

そのため gzg⁻¹＝z となり、中心は共役変換によって一切動きません。

よって中心 Z(G)は必ず G の正規部分群です。

さらに、中心の任意の部分群も正規部分群になります。

中心に含まれる部分群では、群全体の元との可換性がすでに保証されているためです。

非可換群の正規部分群を探すとき、中心を最初に確認することは有効な手掛かりになります。

単純群という考え方への入口

群 G が自明な部分群 ｛e｝と G 自身以外に正規部分群を持たないとき、G を単純群と呼びます。

単純群は、正規部分群によってこれ以上商群へ分解できない群です。

整数の素因数分解のように、有限群を基本的な部品として理解する理論では単純群が重要になります。

ただし、部分群をまったく持たないという意味ではありません。

正規ではない部分群を持つ単純群はあります。

たとえば A₅は有限単純群の代表例として知られていますが、内部にさまざまな部分群を含みます。

ここでも、部分群と正規部分群を区別する重要性が見えてきます。

正規部分群の有無は、群を商群として分解できるかを左右する条件です。

正規部分群の要点

正規部分群とは、群 G の部分群 H が任意の元による共役変換で保たれる場合を指します。

定義は gHg⁻¹＝H であり、左剰余類 gH と右剰余類 Hg が一致することとも同値です。

可換群ではすべての部分群が正規部分群になります。

非可換群では、対称群 S₃の A₃のように正規となる部分群と、互換で生成される部分群のように正規でない部分群が共存します。

準同型写像の核は必ず正規部分群であり、第一同型定理では商群と像が結び付けられます。

また、正規部分群があるからこそ剰余類に演算を定め、商群という新しい群を構成できます。

部分群を見つけたら、共役変換、左剰余類と右剰余類、核、指数 2 の条件を順に確認すると、正規性を判断しやすくなるでしょう。