xyzが1から9までの整数のいずれかである問題の解き方は？考え方や公式も解説！（整数問題：場合の数：数学など）

xyzが1から9までの整数を表す問題では、文字を単なる未知数として見るだけでなく、数字の並び方や重複の可否まで整理することが大切です。

整数問題と場合の数が組み合わさるため、公式だけを暗記すると条件の見落としが起こりやすい分野でしょう。

この記事では、xyzが各桁を表すケースを中心に、数え上げの考え方、順列と組み合わせの使い分け、よくある問題の解法をわかりやすく説明します。

xyzが整数を表す問題の基本方針

それではまず、xyzが1から9までの整数を表す問題の結論となる基本方針について解説していきます。

xyzの意味の確認

問題文にxyzと書かれている場合、最初に確認したいのは、xとyとzが別々の整数なのか、三桁の整数を表す記号なのかという点です。

たとえばx、y、zがそれぞれ1から9までの整数であると書かれていれば、x、y、zは各桁に入る候補として扱うことが多いでしょう。

一方で、xyzが三桁の数そのものを表す場合は、100x＋10y＋zという形に直して考えます。

この違いを曖昧にしたまま計算を始めると、答えが大きく変わってしまいます。

また、問題によってはx、y、zが同じ数字でもよい場合と、すべて異なる数字でなければならない場合があります。

「異なる整数」「重複しない」「互いに異なる」といった表現があれば、同じ数字を繰り返してはいけません。

条件を分解する考え方

整数問題では、条件を一度に処理しようとせず、数字の候補、並び順、計算上の制約に分けると理解しやすくなります。

たとえば、x、y、zが1から9までの異なる整数で、三桁の数xyzが偶数であるという問題を考えてみましょう。

偶数である条件は一の位にだけ関係するため、最初にzの候補を決める方法が有効です。

zには2、4、6、8の4通りがあり、その後にxとyを残りの数字から選びます。

条件がどの桁に影響するかを見つけることが、場合の数を正確に求める近道です。

解法の順序

xyzの問題では、問題文を読んだ後に、数字の重複、先頭の数字、偶奇、倍数条件の順で確認すると整理しやすいでしょう。

先頭の数字は、三桁の自然数である限り0にはできませんが、今回のように1から9までなら最初から心配はいりません。

次に、異なる数字かどうかを確認し、最後に偶数や3の倍数などの条件を加えます。

場合の数における積の法則

続いては、xyzの値を数えるときに最もよく使う積の法則を確認していきます。

重複を許す場合の数

x、y、zがそれぞれ1から9までの整数であり、同じ数字を何度使ってもよいなら、各文字には9通りの選択肢があります。

xを決める方法が9通り、yを決める方法も9通り、zを決める方法も9通りです。

したがって、作れる組は9×9×9で、729通りとなります。

このように、ある選択の後に別の選択を続けて行うときは、それぞれの通り数を掛け合わせます。

これが場合の数の積の法則です。

重複を許さない場合の数

x、y、zがすべて異なる整数であるなら、最初の選び方と次の選び方で候補数が減ります。

xは1から9までの9通りです。

yはxと異なる必要があるため8通りとなり、zはxとyのどちらとも異なる必要があるため7通りとなります。

よって、答えは9×8×7で504通りです。

この計算では、123と132は並び順が異なるため別の数として数えます。

順番が意味を持つことから、順列の考え方が使われていると判断できます。

条件	xの候補	yの候補	zの候補	場合の数
重複可	9通り	9通り	9通り	729通り
すべて異なる	9通り	8通り	7通り	504通り
zが偶数かつ重複可	9通り	9通り	4通り	324通り
zが偶数かつすべて異なる	8通り	7通り	4通り	224通り

順番を決める重要性

積の法則では、どの文字から決めるかによって途中の式が変わる場合があります。

ただし、条件を正しく反映していれば、最終的な答えは同じです。

偶数という条件があるならzから決める、特定の数字を含む条件があるならその数字の位置から考えると、計算が短くなります。

問題の見通しが悪いときは、条件の強い桁を先に選ぶ方法を試してみてください。

順列と組み合わせの使い分け

続いては、xyzの整数問題で迷いやすい順列と組み合わせの違いを確認していきます。

順列を使う場面

順列は、選んだ数字を並べる順番まで区別する場合に使います。

たとえば1、2、3を使って三桁の整数を作るとき、123と321は異なる整数です。

このため、3個の数字を3か所に並べる方法は3×2×1で6通りとなります。

xyzという形で数を作る問題は、多くの場合で各桁の位置に意味があるため、順列として考えることになります。

数字を選ぶだけなのか、数字を並べて数を作るのかを意識すると、公式選びを誤りにくくなります。

組み合わせを使う場面

組み合わせは、順番を区別せずに選ぶだけの場合に使います。

たとえば1から9までの数字から3個を選ぶとき、1、2、3という選び方と3、2、1という選び方は同じです。

この場合は9C3を使い、9個から3個を選ぶ方法を求めます。

ただし、その3個を使って三桁の整数を作るなら、選んだ後に並べ替える段階が必要です。

選ぶ段階では組み合わせ、並べる段階では順列というように、二つの考え方を続けて使うこともあります。

公式に頼りすぎない計算

順列の公式nPrや組み合わせの公式nCrは便利ですが、数字が少ない問題では積の法則で直接書くほうが安全なこともあります。

たとえば9個から異なる3個を順に選ぶ問題は、9P3と書いても9×8×7と書いても同じ意味です。

直接書けば、どの段階で候補が減ったのかが見えやすくなります。

偶数と倍数条件の判定方法

続いては、xyzに偶数や倍数の条件が付く場合の判定方法を確認していきます。

偶数と五の倍数の条件

三桁の整数が偶数かどうかは、一の位であるzだけを見れば判断できます。

1から9までの整数を使うなら、zが2、4、6、8のいずれかであれば偶数です。

同様に、5の倍数であるためには一の位が5でなければなりません。

このような問題では、zを先に固定することで残りの計算が大きく簡単になります。

たとえば異なる数字で5の倍数を作るなら、zは5に決まり、xは8通り、yは7通りです。

答えは8×7で56通りとなります。

三の倍数と九の倍数の条件

三桁の整数xyzが3の倍数かどうかは、x＋y＋zが3の倍数かどうかで判定できます。

9の倍数についても同じで、各桁の和が9の倍数なら元の数も9の倍数です。

この性質は、各桁の数字をすべて調べる必要がないため、とても便利でしょう。

ただし、異なる数字という条件があると、和だけでなく数字の重なりも確認する必要があります。

倍数条件は各桁の和に置き換えられる場合があるため、問題文を見たらすぐに判定法を思い出す習慣をつけるとよいでしょう。

条件	確認する部分	考え方
2の倍数	z	zが2、4、6、8
5の倍数	z	zが5
3の倍数	x＋y＋z	和が3の倍数
9の倍数	x＋y＋z	和が9の倍数
4の倍数	10y＋z	下二桁が4の倍数

条件の重なりへの対応

偶数であり、さらに3の倍数でもあるというように、複数の条件が重なる問題もあります。

この場合は、最初にzを偶数に限定し、その後でx＋y＋zが3の倍数になる組を調べる方法が基本です。

すべての組を機械的に列挙すると時間がかかるため、余りに着目すると効率が上がります。

1から9までの数字を3で割った余りごとに分けると、1、4、7が余り1、2、5、8が余り2、3、6、9が余り0となります。

こうした分類は、整数問題を場合分けで整理する技術として役立ちます。

代表的な問題の解法手順

続いては、xyzが1から9までの整数である代表問題を通して解法手順を確認していきます。

異なる数字で作る三桁の偶数

x、y、zが1から9までの異なる整数であるとき、xyzが偶数となる場合の数を求める問題を考えます。

偶数の条件はzにあるため、zから選ぶと分かりやすいでしょう。

zは2、4、6、8の4通りです。

zが決まった後、xは残り8通り、yはさらに残り7通りとなります。

したがって4×8×7で、答えは224通りです。

最初にxを選んでから偶数条件を考えることも可能ですが、zを先に決めるほうが条件をそのまま式に反映できます。

特定の数字を含む三桁の整数

1から9までの数字を使い、重複を許して三桁の整数を作るとき、少なくとも一つの数字が7である場合の数を求めることがあります。

このような問題では、7を含む場合を直接数えるより、7を含まない場合を全体から引く方法が便利です。

全体は9×9×9で729通りです。

7を一つも含まない場合、各桁には7以外の8通りを選べるため、8×8×8で512通りとなります。

したがって、少なくとも一つの7を含む場合は729－512で217通りです。

少なくとも一つという表現が出たときは、余事象を使えるか検討してみてください。

数字の和が指定される問題

x＋y＋zがある数になるという条件では、単純な掛け算だけでは答えが出ません。

まずxを決めた後にyを決め、zが条件を満たす値として1から9の範囲に入るかを確認する方法があります。

たとえばx＋y＋zが10で、重複を許すなら、xとyを選んだ後にz＝10－x－yと置けます。

このzが1以上9以下なら一つの組として数えられます。

さらに数字が異なる条件まである場合は、zがxやyと等しくないことも確認します。

表を作る、またはxの値ごとに場合分けすることで、数え漏れを防げるでしょう。

整数問題で起こりやすい誤り

続いては、xyzの問題で答えがずれやすい原因と見直しのポイントを確認していきます。

重複条件の読み落とし

最も多い誤りは、同じ数字を使えるかどうかを確認しないことです。

重複可なら9×9×9ですが、異なる数字なら9×8×7となります。

両者の差は大きく、問題文の一語を見落とすだけで正答にはなりません。

計算前に、重複可、重複不可、指定なしのどれかを余白に書いておくと安心です。

異なるという条件は候補数を一つずつ減らす合図と覚えておくとよいでしょう。

桁の条件の取り違え

偶数や5の倍数では一の位だけを見ればよいのに、すべての桁を不必要に制限してしまうことがあります。

反対に、3の倍数の条件を一の位だけで判断してしまう誤りも注意が必要です。

倍数判定にはそれぞれ決まった着眼点があります。

問題を解く前に、何の倍数か、どの桁または和を見るのかを確認してください。

順列と組み合わせの混同

数字を選ぶだけなら組み合わせですが、xyzのように並べて整数を作るなら順番が変わると別の結果になります。

たとえば1、2、3という三つの数字からできる三桁の整数は一つではありません。

123、132、213など、全部で6通りあります。

選んだ集合が同じでも、桁の位置が異なれば数の値が変わるからです。

作るものが数である以上、桁順を区別するという感覚を持つと、混同を防ぎやすくなります。

xyzが整数である場合の数のまとめ

xyzが1から9までの整数を表す問題では、最初にx、y、zが各桁なのか、三桁の整数xyzが100x＋10y＋zなのかを確認することが出発点です。

重複を許すなら各桁の候補数をそのまま掛け、異なる数字なら選ぶたびに候補数を減らします。

三桁の数を作る問題では順番に意味があるため、順列または積の法則を使うのが基本となります。

偶数や5の倍数なら一の位、3の倍数や9の倍数なら各桁の和に注目してください。

条件に最も強く関係する桁から決めると、複雑に見える問題でも式を立てやすくなります。

重複、桁順、倍数判定の三点を丁寧に確認すれば、整数問題と場合の数の問題は着実に解けるようになるでしょう。