積分の学習を進めていると、cos2xの積分という形に出会うことがあります。
cos2xの積分は置換積分または公式を使うことで解くことができ、三角関数の積分の中でも基本的な形として知られています。
この記事では、cos2xの積分公式とその導き方、不定積分・定積分の解き方、例題を通じたやり方まで丁寧に解説していきます。
cos2xの積分の公式は(1/2)sin2x＋C
それではまず、cos2xの積分の公式について解説していきます。
∫cos2x dx＝(1/2)sin2x＋C（Cは積分定数）
(1/2)sin2x＋Cという形は、cosxの積分公式に置換積分を組み合わせることで導き出すことができます。
係数の2が分母に現れる点が、cosxの積分との大きな違いです。
公式の形をしっかり覚えた上で、証明の流れも確認しておきましょう。
公式の証明：置換積分を使った方法
cos2xの積分の証明は、置換積分を使うことでシンプルに導くことができます。
t＝2xとおくと dt＝2dx より dx＝dt/2
∫cos2x dx＝∫cost・(dt/2)＝(1/2)∫cost dt
＝(1/2)sint＋C
t＝2xを代入すると、＝(1/2)sin2x＋C
t＝2xとおく置換積分によって、cosxの積分公式をそのまま活用できる形に変形できます。
最後にtをもとの変数に戻すことを忘れずに行いましょう。
微分を逆算して確認する方法
積分の結果が正しいかどうかは、微分を逆算することで確認できます。
(1/2)sin2xを微分すると、
d/dx((1/2)sin2x)＝(1/2)・cos2x・2＝cos2x
もとの被積分関数cos2xに戻ることが確認できます。
このように微分して元に戻るかを確認する習慣をつけると、計算ミスを防ぐことができます。
合成関数の微分で係数の2が現れ、(1/2)と打ち消し合う点が公式の美しさといえるでしょう。
cosxの積分との対比で覚える
cosxの積分とcos2xの積分を対比させて覚えると、記憶に定着しやすいです。
| 被積分関数 | 積分結果 | 係数の影響 |
|---|---|---|
| cosx | sinx＋C | 係数なし |
| cos2x | (1/2)sin2x＋C | 1/2をかける |
| cos3x | (1/3)sin3x＋C | 1/3をかける |
| cos(ax) | (1/a)sin(ax)＋C | 1/aをかける |
表から、引数の係数aが分母に現れるというパターンが見えてきます。
このパターンを把握しておくと、どんな係数がついても素早く積分を求めることができるでしょう。
cos2xの不定積分のやり方を整理しよう
続いては、cos2xの不定積分の具体的なやり方について整理していきます。
基本的な解き方の手順
cos2xの不定積分を解く際の基本的な手順を確認しましょう。
① 被積分関数がcos(ax)の形になっているか確認する。
② 公式 ∫cos(ax)dx＝(1/a)sin(ax)＋C を適用する。
③ a＝2を代入して (1/2)sin2x＋C を得る。
④ 積分定数Cを忘れずに付ける。
公式を正確に覚えていれば、4ステップで解答することができます。
係数が分母に来ることと、積分定数Cを忘れないことが大切なポイントです。
cos²xとの関係を理解する
cos2xの積分は、cos²xの積分を解く際にも重要な役割を果たします。
半角公式より cos²x＝(1＋cos2x)/2
∫cos²x dx＝∫(1＋cos2x)/2 dx
＝(1/2)∫(1＋cos2x)dx
＝(1/2)(x＋(1/2)sin2x)＋C
＝x/2＋(1/4)sin2x＋C
cos²xの積分を解く際に半角公式でcos2xに変換するテクニックは、試験でも頻出の手法です。
cos2xの積分公式をしっかり覚えておくことで、cos²xの積分もスムーズに解けるでしょう。
sin2xの積分との対比で覚える
cos2xの積分とsin2xの積分を対比させることで、混同を防ぐことができます。
∫cos2x dx＝(1/2)sin2x＋C
∫sin2x dx＝－(1/2)cos2x＋C
sin2xの積分にはマイナス符号が付く点がcos2xの積分との大きな違いです。
この符号の違いを正確に把握しておくことが、計算ミスを防ぐ上で非常に重要でしょう。
cos2xの定積分の例題で理解を深めよう
続いては、実際の例題を通じてcos2xの定積分の解き方を確認していきます。
例題①：基本的な不定積分
問題：∫cos2x dx を求めよ。
解答：公式を直接適用して、
∫cos2x dx＝(1/2)sin2x＋C
この問題は公式をそのまま当てはめるだけで解くことができます。
係数1/2と積分定数Cを忘れずに記載しましょう。
例題②：定積分への応用
問題：∫[0→π/4]cos2x dx を求めよ。
∫cos2x dx＝(1/2)sin2xより、
[(1/2)sin2x]のx＝0からx＝π/4までを計算します。
(1/2)sin(π/2)－(1/2)sin0＝(1/2)・1－(1/2)・0＝1/2
定積分では不定積分の結果に上端と下端の値を代入して差を求めます。
sin(π/2)＝1、sin0＝0であることを覚えておくと、計算がスムーズです。
例題③：cos²xの定積分への応用
問題：∫[0→π/2]cos²x dx を求めよ。
cos²x＝(1＋cos2x)/2より、
∫[0→π/2]cos²x dx＝∫[0→π/2](1＋cos2x)/2 dx
＝[(1/2)(x＋(1/2)sin2x)]のx＝0からx＝π/2まで
＝(1/2)(π/2＋(1/2)sin π)－(1/2)(0＋(1/2)sin0)
＝(1/2)(π/2＋0)－0＝π/4
sinπ＝0を利用することで、計算がシンプルにまとまります。
cos²xの定積分は物理や統計でも頻出の形であるため、しっかりと習得しておきましょう。
まとめ
この記事では、cos2xの積分公式とその導き方、不定積分・定積分の解き方、例題について解説しました。
公式は∫cos2x dx＝(1/2)sin2x＋Cであり、t＝2xとおく置換積分によって導くことができます。
引数の係数aが分母に現れるというパターンを把握しておくと、cos(ax)の形の積分全般に対応できるでしょう。
cos2xの積分はcos²xの積分を半角公式で変換する際にも重要な役割を果たすため、関連する公式とセットで覚えておくことが大切です。
公式の意味と導き方をしっかり理解した上で、さまざまな問題に取り組んでみてください。
